Determine o que se pede.
(1,0 pt) Seja X: N(50 ; 16). Determine \mathrm{X}_{\alpha} de modo que P\left(X<X_{\alpha}\right)=0,90.

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X com distribuição normal N(50;16) e pede um valor X_{\alpha} tal que
P\bigl(X<X_{\alpha}\bigr)=0,90.
Informações relevantes fornecidas:
\text{média } \mu=50,\qquad \text{variância } \sigma^{2}=16.éâ
Da variância obtemos o desvio-padrão
\sigma=\sqrt{16}=4.

Passo 2

Para resolver, vamos padronizar a variável X para usar a tabela (ou função) da normal padrão. Definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Então a probabilidade pedida pode ser escrita como
P\bigl(X<X_{\alpha}\bigr)=P\!\left(Z<\frac{X_{\alpha}-\mu}{\sigma}\right).
Queremos que isso valha 0,90. Logo o número \dfrac{X_{\alpha}-\mu}{\sigma} é o quantil da normal padrão que deixa área 0,90 à sua esquerda. Chamamos esse quantil de z_{0,90}, que satisfaz
P(Z<z_{0,90})=0,90.
Resolvendo para X_{\alpha} obtemos a fórmula
X_{\alpha}=\mu+\sigma\,z_{0,90}.

Passo 3

Agora precisamos do valor de z_{0,90}. Usando a tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, sabemos que
z_{0,90}\approx 1{,}2816.
Se quiser ver rápido na tabela: para z=1{,}28 a área é 0{,}8997 e para z=1{,}29 é 0{,}9015. Interpolando para 0{,}90 obtemos aproximadamente z\approx1{,}2816.

Passo 4

Substituímos na fórmula X_{\alpha}=\mu+\sigma\,z_{0,90}:
X_{\alpha}=50+4\cdot 1{,}2816.
Calculando passo a passo:
4\cdot 1{,}2816 = 5{,}1264,
X_{\alpha}=50+5{,}1264=55{,}1264.
Arredondando de maneira habitual para duas casas decimais obtemos 55{,}13.

Passo 5

Interpretação: X_{\alpha}\approx 55{,}13 é o 90.º percentil da distribuição de X. Isso significa que aproximadamente 90\% das observações de X são menores que 55{,}13. Força aí — esse tipo de transformação e uso de quantis é um truque que cai muito em prova e é rápido de fazer quando você memoriza a relação entre X, Z, média e desvio-padrão.

Resposta

X_{\alpha}\approx 55{,}13

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