(
pt) Um gerente quer estimar o número médio de minutos que trabalhadores levam para completar uma tarefa em
minutos com
de confiança. De experiências anteriores, o gerente sabe que o desvio-padrão é de 15 minutos. Considere a população infinita e determine o número de elementos da amostra
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o tamanho da amostra
que o gerente deve usar para estimar o tempo médio com margem de erro de
minutos e nível de confiança de
, sabendo que o desvio-padrão populacional é
minutos. A população pode ser considerada infinita. Informações dadas:
- Margem de erro desejada:
minutos. - Nível de confiança:
. - Desvio-padrão conhecido:
minutos. - População infinita (portanto não usamos correção de população finita).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar. Quando queremos estimar a média populacional com desvio-padrão conhecido e nível de confiança dado, a margem de erro
é dada por
onde:
-
é a margem de erro (aqui ,); -
é o desvio-padrão populacional (aqui ,); -
é o tamanho da amostra que queremos achar; -
é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda , com nível de confiança.
Explicando: a estatística amostral da média tem desvio padrão
. Para garantir que o intervalo de confiança tenha “raio”
, multiplicamos esse desvio padrão pelo quantil
.
Passo 3
Calcular
para
de confiança. Aqui o nível de confiança é
, então
e
. O quantil correspondente é o valor
tal que
para
. Esse valor é conhecido:
Passo 4
Isolar
na fórmula da margem de erro. Partimos de
Substituindo
,
e
,
Agora resolvemos passo a passo:
Calcule o numerador:
Então
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Arredondamento e verificação. Como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda
minutos, sempre arredondamos para cima (ceiling). Assim
Verificação rápida do
alcançado com
:
Calculando
e então
ou seja, com
a margem realmente fica um pouco menor que
, como desejamos.
Passo 6
Observações finais e dica prática. Porque a população é considerada infinita, não usamos a correção de população finita. Se a população fosse pequena (próxima do tamanho da amostra), seria necessário aplicar um fator de correção. Dica para a prova: memorize a fórmula
e lembre de sempre arredondar para cima.