( \mathbf{2 , 0} pt) Um gerente quer estimar o número médio de minutos que trabalhadores levam para completar uma tarefa em \pm 3 minutos com 90 \% de confiança. De experiências anteriores, o gerente sabe que o desvio-padrão é de 15 minutos. Considere a população infinita e determine o número de elementos da amostra n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tamanho da amostra n que o gerente deve usar para estimar o tempo médio com margem de erro de \pm 3 minutos e nível de confiança de 90\%, sabendo que o desvio-padrão populacional é \sigma=15 minutos. A população pode ser considerada infinita. Informações dadas:
  • Margem de erro desejada: E=3 minutos.
  • Nível de confiança: 90\%.
  • Desvio-padrão conhecido: \sigma=15 minutos.
  • População infinita (portanto não usamos correção de população finita).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar. Quando queremos estimar a média populacional com desvio-padrão conhecido e nível de confiança dado, a margem de erro E é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • E é a margem de erro (aqui \,E=3,);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=15,);
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar;
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2, com \alpha = 1 - nível de confiança.
Explicando: a estatística amostral da média tem desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Para garantir que o intervalo de confiança tenha “raio” E, multiplicamos esse desvio padrão pelo quantil z_{\alpha/2}.

Passo 3

Calcular z_{\alpha/2} para 90\% de confiança. Aqui o nível de confiança é 90\%, então \alpha = 1-0{,}90 = 0{,}10 e \alpha/2 = 0{,}05. O quantil correspondente é o valor z tal que P(Z \le z) = 0{,}95 para Z\sim N(0,1). Esse valor é conhecido:
z_{\alpha/2} = z_{0{,}95} \approx 1{,}645.

Passo 4

Isolar n na fórmula da margem de erro. Partimos de
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Substituindo E=3, z_{\alpha/2}=1{,}645 e \sigma=15,
3 = 1{,}645\cdot\frac{15}{\sqrt{n}}.
Agora resolvemos passo a passo:
\sqrt{n} = \frac{1{,}645\cdot 15}{3}.
Calcule o numerador:
1{,}645\cdot 15 = 24{,}675.
Então
\sqrt{n} = \frac{24{,}675}{3} = 8{,}225.
Elevando ao quadrado:
n = 8{,}225^{2} = 67{,}640625.

Passo 5

Arredondamento e verificação. Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda 3 minutos, sempre arredondamos para cima (ceiling). Assim
n = 68.
Verificação rápida do E alcançado com n=68:
E_{\text{real}} = 1{,}645\cdot\frac{15}{\sqrt{68}}.
Calculando \sqrt{68}\approx 8{,}2462 e então
E_{\text{real}} \approx 1{,}645\cdot\frac{15}{8{,}2462} \approx 2{,}993 < 3,
ou seja, com n=68 a margem realmente fica um pouco menor que 3, como desejamos.

Passo 6

Observações finais e dica prática. Porque a população é considerada infinita, não usamos a correção de população finita. Se a população fosse pequena (próxima do tamanho da amostra), seria necessário aplicar um fator de correção. Dica para a prova: memorize a fórmula n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^{2} e lembre de sempre arredondar para cima.

Resposta

68

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