Determine o percentil X^{2} que é requerido para construir cada uma das seguintes ICs:
Nível de confiança =90 \%, grau de liberdade =19, bilateral

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os percentis da distribuição qui-quadrado necessários para construir um intervalo de confiança bilateral com nível de confiança 90\% e graus de liberdade \nu=19.
Informações dadas:
  • Nível de confiança: 90\%.
  • Grau de liberdade: \nu=19.
  • Intervallo bilateral (duas caudas).

Passo 2

Definir o nível de significância e as probabilidades das caudas.
Se o nível de confiança é 90\%, então o nível de significância é
\alpha = 1 - 0{,}90 = 0{,}10.
Como o intervalo é bilateral, cada cauda recebe metade de \alpha, isto é
\frac{\alpha}{2} = 0{,}05.
Portanto precisamos dos dois quantis da distribuição \chi^2 com \nu=19:
  • o quantil inferior correspondente a probabilidade cumulativa 0{,}05, denotado por \chi^2_{0,05;19}, e
  • o quantil superior correspondente a probabilidade cumulativa 0{,}95, denotado por \chi^2_{0,95;19}.

Passo 3

Explicar o que significam esses quantis:
  • \chi^2_{0,05;19} é o valor tal que \Pr\big(\chi^2_{19}\le \chi^2_{0,05;19}\big)=0{,}05. Ou seja, a área à esquerda é 5\%.
  • \chi^2_{0,95;19} é o valor tal que \Pr\big(\chi^2_{19}\le \chi^2_{0,95;19}\big)=0{,}95. Ou seja, a área à esquerda é 95\% (e a área à direita é 5\%).
Para obter os valores numéricos desses quantis usa-se uma tabela da distribuição \chi^2 ou um software/calculadora estatística.

Passo 4

Obtenção dos valores numéricos (consulta à tabela/distribuição):
Consultando a tabela da \chi^2 ou calculadora, para \nu=19 e as probabilidades solicitadas obtém-se
\chi^2_{0,05;19}\approx 10{,}117 \qquad\text{e}\qquad \chi^2_{0,95;19}\approx 30{,}144.
(Estes valores foram retirados da tabela da distribuição qui-quadrado / calculadora estatística padrão.)

Passo 5

Interpretação rápida e uso em IC para variância:
Se precisar construir um intervalo de confiança bilateral de 90\% para a variância \sigma^2 com amostra de tamanho n (logo \nu=n-1), os quantis acima entram na fórmula
\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0,95;\,n-1}},\;\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0,05;\,n-1}}\right).
Aqui usei \nu=19 e por isso os quantis mostrados.

Resposta

\chi^2_{0,05;19}=10{,}117
\chi^2_{0,95;19}=30{,}144

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