Foram misturados 330 g de água com temperatura inicial de
e umas pedrinhas de gelo com massa total de
e a temperatura inicial de
) num copo de isopor e.
(a) (
) Supondo que não ocorre troca de calor com o ar ambiente, qual é a temperatura final da mistura?
(b) (0,75 p) Qual é a variação da entropia do sistema antes e depois dessa mistura? (c)
(c) (
) Após o equilíbrio térmico, quantas gramas de gelo precisamos para diminuir a temperatura final da mistura a $1,00 \mathrm{C}^{\circ}.
(a) (
(b) (0,75 p) Qual é a variação da entropia do sistema antes e depois dessa mistura? (c)
(c) (
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
- Massa de água:
. - Temperatura inicial da água:
. - Massa de gelo:
. - Temperatura inicial do gelo:
. - O copo é de isopor: considerar trocas de calor com o ambiente desprezíveis (sistema isolado).
O enunciado pede:
(a) qual é a temperatura final da mistura (supondo isolamento);
(b) qual é a variação da entropia do sistema (água + gelo) entre o estado inicial e o estado final;
(c) após o equilíbrio térmico, quantos gramas de gelo (assumirei gelo à temperatura , explicarei por que esta suposição é razoável) seriam necessários para diminuir a temperatura final da mistura para
.
(a) qual é a temperatura final da mistura
(b) qual é a variação da entropia do sistema (água + gelo) entre o estado inicial e o estado final;
(c) após o equilíbrio térmico, quantos gramas de gelo (assumirei gelo à temperatura
Constantes que vou usar (valores típicos, explicados abaixo):
Observação sobre a parte (c): o enunciado não especifica a temperatura do gelo a ser acrescentado. A escolha usual em exercícios é considerar gelo à temperatura de fusão
; isso simplifica e é uma hipótese física razoável (gelo guardado em freezer temperado próximo de
ou gelo recém-retirado pode ser aproximado assim). Vou indicar essa hipótese explicitamente quando fizer (c).
Passo 2
Princípio físico a usar (explicando didaticamente): conservação de energia térmica num sistema isolado — o calor total cedido por partes mais quentes vale o calor total absorvido por partes mais frias. Matemática geral: para um corpo com massa
e calor específico
que varia de temperatura de
para
(em
ou K, a variação é a mesma), o calor trocado é
Para fusão a temperatura constante
o calor necessário é
Aplicando ao problema: primeiro verifico se todo o gelo derrete. Calculo a energia necessária para levar o gelo desde
até água líquida a
:
Calculo numérico:
Energia total necessária para transformar o gelo inicial em água a
:
Energia disponível pela água ao resfriar de
até
:
Comparação:
é maior que
. Logo, todo o gelo inicial derrete e a mistura final fica com temperatura maior que
. Assim o caso é: gelo esquenta até
, derrete, a água resultante e a água inicial equilibram a uma temperatura final
.
Passo 3
Escrever a equação de conservação de energia para encontrar
. Tomando calor positivo quando ganho de energia:
Calor perdido pela água quente ao ir de
para
:
Calor ganho pelo gelo (três etapas): aquecer sólido de
a
, fundir, aquecer a água resultante de
a
:
Igualando perdas e ganhos:
Substituo números (todos em unidades J e °C; c em J g^{-1} °C^{-1}):
Calculo coeficientes:
A equação fica
Resolvo passo a passo:
Calculando o termo à esquerda constante:
O lado direito constante (exceto o termo em
):
Então:
Reorganizando:
Interpretação: a temperatura final da mistura (toda em forma líquida após o derretimento do gelo) é aproximadamente
.
Passo 4
Agora calculo a variação total de entropia do sistema entre estado inicial e final. Conceitos e fórmulas (explicando didaticamente):
- Para aquecimento/resfriamento reversível de um corpo com calor específico
constante entre temperaturas e (em Kelvin) a variação de entropia é
É importante usar temperaturas em Kelvin na razão dentro do logaritmo.
- Para uma fusão (ou solidificação) a temperatura constante
, a variação de entropia associada é
onde
é a temperatura de fusão em Kelvin (aqui
).
Vou decompor a variação total em contribuições:
- Água inicial (330 g) resfria de
para :
Temperaturas em Kelvin:
Variação de entropia da água:
Substituindo números:
Calculo do logaritmo:
Logo
- Gelo (55,0 g) — soma de três contribuições:
a) aquecer gelo deaté :
b) fusão a
:
c) aquecer a água resultante de
até
:
Somando as três contribuições do gelo:
Variação total de entropia do sistema (água + gelo):
Interpretação física:
como esperado para um processo irreversível espontâneo (mistura/derretimento). O valor é pequeno mas positivo, aproximadamente
.
Passo 5
Parte (c): quantas gramas de gelo são necessárias para diminuir a temperatura final da mistura para
.
Primeiro explico a hipótese adotada: suponho que o gelo a ser acrescentado esteja a
(temperatura de fusão). Esta é uma escolha padrão quando o enunciado não especifica a temperatura do gelo; se o gelo estivesse mais frio (por exemplo
) seria necessário um pouco mais de gelo pois parte do calor seria usado para aquecer o gelo até
antes de fundir.
Estado a partir do qual adiciono gelo: após o equilíbrio da parte (a) a mistura inteira é água líquida com massa
à temperatura
. Agora adiciono uma massa
de gelo a
e espero novo equilíbrio a
. Como
, todo o gelo adicionado irá necessariamente fundir (pois a temperatura final é acima de
), então o calor absorvido pelo gelo consiste em fusão mais aquecimento da água resultante de
até
.
Equação de balanço energético (calor cedido pela água existente = calor absorvido pelo gelo adicionado):
Substituo valores:
Calculo passo a passo:
Coeficiente do lado direito:
Assim
Arredondando de forma adequada aos dados (duas ou três casas significativas):
.
Resposta
(a)
(b)
(c)