Foram misturados 330 g de água com temperatura inicial de 23,0^{\circ} \mathrm{C} e umas pedrinhas de gelo com massa total de 55,0 \mathrm{~g} e a temperatura inicial de -2,00^{\circ} \mathrm{C} ) num copo de isopor e.
(a) ( 1,0 \mathrm{p} ) Supondo que não ocorre troca de calor com o ar ambiente, qual é a temperatura final da mistura?
(b) (0,75 p) Qual é a variação da entropia do sistema antes e depois dessa mistura? (c)
(c) ( 0,75 \mathrm{p} ) Após o equilíbrio térmico, quantas gramas de gelo precisamos para diminuir a temperatura final da mistura a $1,00 \mathrm{C}^{\circ}.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
  • Massa de água: m_{w}=330{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=23{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de gelo: m_{g0}=55{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{g,i}=-2{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • O copo é de isopor: considerar trocas de calor com o ambiente desprezíveis (sistema isolado).
O enunciado pede:
(a) qual é a temperatura final da mistura T_f (supondo isolamento);
(b) qual é a variação da entropia do sistema (água + gelo) entre o estado inicial e o estado final;
(c) após o equilíbrio térmico, quantos gramas de gelo (assumirei gelo à temperatura 0{,}00^\circ\mathrm{C}, explicarei por que esta suposição é razoável) seriam necessários para diminuir a temperatura final da mistura para 1{,}00^\circ\mathrm{C}.
Constantes que vou usar (valores típicos, explicados abaixo):
c_{\text{água}}=4{,}18\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\,^\circ C^{-1}},\qquad c_{\text{gelo}}=2{,}09\\ \mathrm{J\\ g^{-1}\,^\circ C^{-1}},\qquad L_f=334\\ \mathrm{J\\ g^{-1}}.á
Observação sobre a parte (c): o enunciado não especifica a temperatura do gelo a ser acrescentado. A escolha usual em exercícios é considerar gelo à temperatura de fusão 0{,}00^\circ\mathrm{C}; isso simplifica e é uma hipótese física razoável (gelo guardado em freezer temperado próximo de 0^\circ ou gelo recém-retirado pode ser aproximado assim). Vou indicar essa hipótese explicitamente quando fizer (c).

Passo 2

Princípio físico a usar (explicando didaticamente): conservação de energia térmica num sistema isolado — o calor total cedido por partes mais quentes vale o calor total absorvido por partes mais frias. Matemática geral: para um corpo com massa m e calor específico c que varia de temperatura de T_1 para T_2 (em ^\circ\mathrm{C} ou K, a variação é a mesma), o calor trocado é
Q = m c (T_2-T_1).
Para fusão a temperatura constante T_m o calor necessário é
Q_{\text{fus}} = m L_f.
Aplicando ao problema: primeiro verifico se todo o gelo derrete. Calculo a energia necessária para levar o gelo desde -2{,}00^\circ\mathrm{C} até água líquida a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{gelo, aquecer}}=m_{g0}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-2{,}00))=55{,}0\cdot 2{,}09\cdot 2.
Q_{\text{fus}}=m_{g0}L_f=55{,}0\cdot 334.
Calculo numérico:
Q_{\text{gelo, aquecer}}=55{,}0\cdot 2{,}09\cdot 2=229{,}9\\ \mathrm{J}.
Q_{\text{fus}}=55{,}0\cdot 334=18370\\ \mathrm{J}.
Energia total necessária para transformar o gelo inicial em água a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{gelo,total}}=229{,}9+18370\approx18599{,}9\\ \mathrm{J}.
Energia disponível pela água ao resfriar de 23{,}0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{água, até 0}}=m_{w}\,c_{\text{água}}\,(23{,}0-0)=330{,}0\cdot 4{,}18\cdot 23{,}0.áéá
Q_{\text{água, até 0}}=330{,}0\cdot 4{,}18\cdot 23{,}0=31726{,}2\\ \mathrm{J}.áé
Comparação: Q_{\text{água, até 0}}=31726{,}2\\ \mathrm{J}áé é maior que Q_{\text{gelo,total}}\approx18599{,}9\\ \mathrm{J}. Logo, todo o gelo inicial derrete e a mistura final fica com temperatura maior que 0^\circ\mathrm{C}. Assim o caso é: gelo esquenta até 0^\circ, derrete, a água resultante e a água inicial equilibram a uma temperatura final T_f>0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Escrever a equação de conservação de energia para encontrar T_f. Tomando calor positivo quando ganho de energia:
Calor perdido pela água quente ao ir de 23{,}0^\circ\mathrm{C} para T_f:
Q_{\text{água,perde}}=m_w c_{\text{água}}(T_{w,i}-T_f).áá
Calor ganho pelo gelo (três etapas): aquecer sólido de -2{,}00^\circ a 0^\circ, fundir, aquecer a água resultante de 0^\circ a T_f:
Q_{\text{gelo,ganha}}=m_{g0} c_{\text{gelo}}(0-(-2{,}00)) + m_{g0} L_f + m_{g0} c_{\text{água}}(T_f-0).á
Igualando perdas e ganhos:
m_w c_{\text{água}}(T_{w,i}-T_f)=m_{g0} c_{\text{gelo}}(2{,}00)+m_{g0} L_f + m_{g0} c_{\text{água}}T_f.áá
Substituo números (todos em unidades J e °C; c em J g^{-1} °C^{-1}):
Calculo coeficientes:
m_w c_{\text{água}}=330{,}0\cdot 4{,}18=1379{,}4\\ \mathrm{J\,^\circ C^{-1}}.á
m_{g0} c_{\text{gelo}}=55{,}0\cdot 2{,}09=114{,}95\\ \mathrm{J\,^\circ C^{-1}}.
m_{g0} c_{\text{água}}=55{,}0\cdot 4{,}18=229{,}9\\ \mathrm{J\,^\circ C^{-1}}.á
m_{g0} L_f=18370\\ \mathrm{J}\\ \text{(já calculado).}á
A equação fica
1379{,}4(23{,}0-T_f)=114{,}95\cdot 2{,}00 +18370 +229{,}9\,T_f.
Resolvo passo a passo:
Calculando o termo à esquerda constante:
1379{,}4\cdot 23{,}0=31726{,}2.
O lado direito constante (exceto o termo em T_f):
114{,}95\cdot 2{,}00 +18370 =229{,}9+18370=18599{,}9.
Então:
31726{,}2 -1379{,}4\,T_f =18599{,}9 +229{,}9\,T_f.
Reorganizando:
31726{,}2-18599{,}9 =1379{,}4\,T_f +229{,}9\,T_f.
13126{,}3 =1609{,}3\,T_f.
T_f=\frac{13126{,}3}{1609{,}3}\approx 8{,}16^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a temperatura final da mistura (toda em forma líquida após o derretimento do gelo) é aproximadamente 8{,}16^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora calculo a variação total de entropia do sistema entre estado inicial e final. Conceitos e fórmulas (explicando didaticamente):
  • Para aquecimento/resfriamento reversível de um corpo com calor específico c constante entre temperaturas T_1 e T_2 (em Kelvin) a variação de entropia é
\Delta S = m c \ln\!\bigg(\frac{T_2}{T_1}\bigg).
É importante usar temperaturas em Kelvin na razão dentro do logaritmo.
  • Para uma fusão (ou solidificação) a temperatura constante T_m, a variação de entropia associada é
\Delta S_{\text{fus}}=\frac{Q_{\text{fus}}}{T_m}=\frac{mL_f}{T_m},
onde T_m é a temperatura de fusão em Kelvin (aqui T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}).
Vou decompor a variação total em contribuições:
  1. Água inicial (330 g) resfria de 23{,}0^\circ\mathrm{C} para T_f\approx 8{,}16^\circ\mathrm{C}:
    Temperaturas em Kelvin:
T_{w,i}=23{,}0+273{,}15=296{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_f=8{,}16+273{,}15=281{,}31\\ \mathrm{K}.
Variação de entropia da água:
\Delta S_w = m_w c_{\text{água}} \ln\!\bigg(\frac{T_f}{T_{w,i}}\bigg).á
Substituindo números:
\Delta S_w =1379{,}4\ln\!\bigg(\frac{281{,}31}{296{,}15}\bigg).
Calculo do logaritmo:
\ln\!\bigg(\frac{281{,}31}{296{,}15}\bigg)=\ln(0{,}9499)\approx -0{,}05145.
Logo
\Delta S_w \approx 1379{,}4\cdot(-0{,}05145)\approx -70{,}96\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
  1. Gelo (55,0 g) — soma de três contribuições:
    a) aquecer gelo de -2{,}00^\circ\mathrm{C} até 0{,}00^\circ\mathrm{C}:
T_{g,i}= -2{,}00+273{,}15=271{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}.
\Delta S_{g,1}=m_{g0} c_{\text{gelo}}\ln\!\bigg(\frac{273{,}15}{271{,}15}\bigg) =114{,}95\ln\!\bigg(\frac{273{,}15}{271{,}15}\bigg).
\ln\!\bigg(\frac{273{,}15}{271{,}15}\bigg)=\ln(1{,}007373)\approx 0{,}007345,
\Delta S_{g,1}\approx 114{,}95\cdot 0{,}007345\approx 0{,}845\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
b) fusão a 0{,}00^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_{g,2}=\frac{m_{g0}L_f}{T_m}=\frac{18370}{273{,}15}\approx 67{,}29\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
c) aquecer a água resultante de 0{,}00^\circ\mathrm{C} até T_f:
\Delta S_{g,3}=m_{g0} c_{\text{água}}\ln\!\bigg(\frac{T_f}{273{,}15}\bigg)=229{,}9\ln\!\bigg(\frac{281{,}31}{273{,}15}\bigg).á
\frac{281{,}31}{273{,}15}=1{,}03029,\qquad \ln(1{,}03029)\approx 0{,}0298,
\Delta S_{g,3}\approx 229{,}9\cdot 0{,}0298\approx 6{,}85\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Somando as três contribuições do gelo:
\Delta S_g=\Delta S_{g,1}+\Delta S_{g,2}+\Delta S_{g,3}\approx 0{,}845+67{,}29+6{,}85\approx 74{,}98\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Variação total de entropia do sistema (água + gelo):
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_w + \Delta S_g \approx -70{,}96 +74{,}98 \approx 4{,}02\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Interpretação física: \Delta S_{\text{total}}>0 como esperado para um processo irreversível espontâneo (mistura/derretimento). O valor é pequeno mas positivo, aproximadamente 4{,}0\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.

Passo 5

Parte (c): quantas gramas de gelo são necessárias para diminuir a temperatura final da mistura para 1{,}00^\circ\mathrm{C}.
Primeiro explico a hipótese adotada: suponho que o gelo a ser acrescentado esteja a 0{,}00^\circ\mathrm{C} (temperatura de fusão). Esta é uma escolha padrão quando o enunciado não especifica a temperatura do gelo; se o gelo estivesse mais frio (por exemplo -2^\circ\mathrm{C}) seria necessário um pouco mais de gelo pois parte do calor seria usado para aquecer o gelo até 0^\circ antes de fundir.
Estado a partir do qual adiciono gelo: após o equilíbrio da parte (a) a mistura inteira é água líquida com massa
m_{\text{mist}}=m_w + m_{g0}=330{,}0+55{,}0=385{,}0\\ \mathrm{g}
à temperatura T_{f,1}\approx 8{,}16^\circ\mathrm{C}. Agora adiciono uma massa m_x de gelo a 0{,}00^\circ\mathrm{C} e espero novo equilíbrio a T_{f,2}=1{,}00^\circ\mathrm{C}. Como T_{f,2}>0^\circ\mathrm{C}, todo o gelo adicionado irá necessariamente fundir (pois a temperatura final é acima de 0^\circ), então o calor absorvido pelo gelo consiste em fusão mais aquecimento da água resultante de 0^\circ até 1{,}00^\circ\mathrm{C}.
Equação de balanço energético (calor cedido pela água existente = calor absorvido pelo gelo adicionado):
m_{\text{mist}} c_{\text{água}}(T_{f,1}-T_{f,2}) = m_x L_f + m_x c_{\text{água}}(T_{f,2}-0).áá
Substituo valores:
m_{\text{mist}}=385{,}0\\ \mathrm{g},\quad T_{f,1}=8{,}16^\circ\mathrm{C},\quad T_{f,2}=1{,}00^\circ\mathrm{C}.
385{,}0\cdot 4{,}18\cdot(8{,}16-1{,}00)=m_x\big(334 + 4{,}18\cdot 1{,}00\big).
Calculo passo a passo:
\Delta T=8{,}16-1{,}00=7{,}16^\circ\mathrm{C}.
\text{Lado esquerdo}=385{,}0\cdot 4{,}18\cdot 7{,}16.
4{,}18\cdot 7{,}16=29{,}925\\ (\text{aprox}),\qquad 29{,}925\cdot 385{,}0=11521{,}1\\ \mathrm{J}.
Coeficiente do lado direito:
334 +4{,}18\cdot 1{,}00=334 +4{,}18=338{,}18\\ \mathrm{J\\ g^{-1}}.
Assim
m_x=\frac{11521{,}1}{338{,}18}\approx 34{,}07\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma adequada aos dados (duas ou três casas significativas): m_x\approx 34{,}1\\ \mathrm{g}.

Resposta

(a) T_f\approx 8{,}16^\circ\mathrm{C}
(b) \Delta S_{\text{total}}\approx 4{,}02\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}
(c) m_x\approx 34{,}1\\ \mathrm{g}

Exercícios relacionados