Determine a perda de carga para um escoamento de 200 \mathrm{l} / \mathrm{s} de óleo ( \rho=0,9 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e \mathrm{v}= 110^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ), em um tubo de ferro fundido de 800 m de comprimento e 10 cm de diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a perda de carga para um escoamento de óleo em um tubo. Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
  • Vazão volumétrica: \;Q=200\\ \mathrm{l/s}=0,2\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Densidade do óleo: \;\rho=0{,}9\\ \mathrm{g/cm^3}=900\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade cinemática: \;\nu=1\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Comprimento do tubo: \;L=800\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do tubo: \;D=0{,}10\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Calcular a perda de carga (head loss) do escoamento no tubo. (Opcionalmente é útil também obter a queda de pressão correspondente.)
Observação importante (assunção necessária):
  • O enunciado não informou a rugosidade absoluta do tubo. Para ferro fundido típico usarei a rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. Vou explicitar e usar essa suposição adiante.

Passo 2

Calcular a velocidade média do fluido na seção (primeiro passo prático).
Fórmulas usadas:
  • Área da seção circular: \;A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • Velocidade média: \;V=\dfrac{Q}{A}.
Cálculo da área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025\approx0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo da velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}2}{0{,}00785398}\approx25{,}46479\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático curto: A velocidade média é alta porque o tubo é pequeno (diâmetro 0{,}10\\ \mathrm{m}) para uma vazão de 0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}. Na prova faça sempre essa verificação inicial — se a velocidade ficar muito grande, as perdas tendem a ser grandes também.

Passo 3

Determinar o regime de escoamento através do número de Reynolds.
Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, V é velocidade média ( \mathrm{m/s}), D é diâmetro ( \mathrm{m}) e \nu é viscosidade cinemática ( \mathrm{m^2/s}).
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{25{,}46479\cdot0{,}10}{1\times10^{-5}} =\frac{2{,}546479}{1\times10^{-5}} \approx2{,}5465\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx2,55\times10^{5} é muito maior que 4000, portanto o escoamento é totalmente turbulento. Em regime turbulento a perda de carga depende fortemente da rugosidade relativa \varepsilon/D e do fator de atrito de Darcy f.

Passo 4

Escolher método para obter o fator de atrito f e justificar.
Opções comuns:
  • Usar gráfico de Moody (bom, mas manual).
  • Resolver a equação implícita de Colebrook-White (precisa iteração).
  • Usar fórmula explícita aproximada (por ex. Swamee–Jain) — boa escolha em prova sem iteração pesada.
Vou usar a fórmula de Swamee–Jain, que é uma boa aproximação para tubos rugosos em regime turbulento e expressa f explicitamente:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui:
  • \varepsilon é rugosidade absoluta (m),
  • D é diâmetro (m),
  • \mathrm{Re} é número de Reynolds.
Justificativa: fórmula simples de aplicar no papel e suficientemente precisa para engenharia de tubulações. Usei \varepsilon=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (valor típico para ferro fundido).

Passo 5

Calcular o fator de atrito f com Swamee–Jain passo a passo.
Primeiro, calcular os termos internos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{2{,}6\times10^{-4}}{3{,}7\cdot0{,}10} =\frac{2{,}6\times10^{-4}}{0{,}37}\approx7{,}0270\times10^{-4}.
Calcular \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}. Já temos \mathrm{Re}\approx2{,}5465\times10^{5}.
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx7{,}334\times10^{4}\quad(\text{cálculo via }10^{0{,}9\log_{10}\mathrm{Re}}),á
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{7{,}334\times10^{4}}\approx7{,}828\times10^{-5}.
Somando os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx7{,}0270\times10^{-4}+7{,}828\times10^{-5} \approx7{,}8098\times10^{-4}.
Aplicando Swamee–Jain:
\log_{10}\!\left(7{,}8098\times10^{-4}\right)\approx-3{,}1069,
\left[\log_{10}(\cdot)\right]^{2}\approx(-3{,}1069)^{2}\approx9{,}6489,
f=\frac{0{,}25}{9{,}6489}\approx0{,}02590.
Portanto o fator de atrito de Darcy vale aproximadamente \;f\approx0{,}0259.
Comentário: esse valor está na faixa típica para escoamento turbulento em tubos razoavelmente rugosos.

Passo 6

Calcular a perda de carga (head loss) usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula de Darcy–Weisbach (explicando cada termo):
h_{f}=f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde
  • h_{f} é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Calculando passo a passo os termos:
  • Razão geométrica:
\frac{L}{D}=\frac{800}{0{,}10}=8000.
  • Energia cinética por unidade de peso:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(25{,}46479)^{2}}{2\cdot9{,}81} =\frac{648{,}57}{19{,}62}\approx33{,}0836\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_{f}=0{,}02590\cdot8000\cdot33{,}0836.
Calcule:
0{,}02590\cdot8000=207{,}2,
h_{f}=207{,}2\cdot33{,}0836\approx6{,}856\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Portanto a perda de carga é da ordem de 6{,}856\times10^{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Converter a perda de carga em queda de pressão (se desejado), usando \Delta p=\rho g h_{f}.
Cálculo:
\Delta p=\rho g h_{f}=900\cdot9{,}81\cdot6{,}856\times10^{3}.
9{,}81\cdot6{,}856\times10^{3}\approx6{,}7249\times10^{4},
\Delta p\approx900\cdot6{,}7249\times10^{4}\approx6{,}0524\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais: \Delta p\approx6{,}05\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\approx60{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação curta: essa queda de pressão é muito grande — consequência direta da alta velocidade em um tubo pequeno. Em projetos práticos costuma-se reduzir perda de carga aumentando o diâmetro ou diminuindo a vazão por tubo.

Passo 8

Resumo final e observações práticas (motivação para a prova):
  • Procedimento usado: calculei velocidade a partir da vazão, determinei Re para saber o regime, usei Swamee–Jain para obter f (prático em prova), apliquei Darcy–Weisbach para obter h_{f}.
  • Atenção na prova: sempre cheque unidades, converta \rho para \mathrm{kg/m^3} e \varepsilon para metros, e justifique qualquer valor de rugosidade quando não informe no enunciado.
  • Força: você consegue aplicar isso passo a passo na prova — começa organizando dados (Passo 1), vai para velocidade e Re (Passos 2–3), escolhe método para f (Passo 4) e aplica Darcy–Weisbach (Passos 6–7). Vai dar certo!

Resposta

h_{f}\approx6{,}86\times10^{3}\\ \mathrm{m}
\Delta p\approx6{,}05\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\\ \approx60{,}5\\ \mathrm{MPa}

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