(Aula 2) Dada a equa, ćao
(a) Mostre que a equa,ć ao ́e de Bernoulli e indique qual a substitui, ć ao (i.e. mudan, ca de vari’avel) que a torna linear?
(b) Resolva-a pelo m’étodo de Bernoulli.
(b) Resolva-a pelo m’étodo de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) mostrar que a equação é de Bernoulli e indicar a substituição (mudança de variável) que a torna linear;
- (b) resolver a equação pelo método de Bernoulli.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em termos de
(derivada de em relação a ), do fator , e de um termo não linear em que envolve e . - Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de Bernoulli. Primeiro isolamos
dividindo por
:
Expandindo o produto em
:
Levantamos todos os termos para a forma
Colocando os termos adequadamente:
Portanto identificamos
Como a equação já tem a forma
com
, ela é uma equação de Bernoulli. A substituição padrão para Bernoulli é
Aqui
, logo a substituição indicada que lineariza a equação é
Passo 3
Explicando por que essa substituição funciona (mini-aula passo a passo). Para a equação de Bernoulli
faz-se
. Diferenciando
em relação a
usando regra da cadeia:
Multiplicando a equação original por
obtemos no lado esquerdo exatamente
mais um termo proporcional a
, e no lado direito uma função de
(sem dependência em potências desprezíveis de
). Ou seja, o procedimento transforma a Bernoulli não linear numa equação linear de primeira ordem em
:
Isso é útil porque equações lineares de primeira ordem são resolvíveis pelo fator integrante. No nosso caso
, então a transformação dá uma equação linear em
.
Passo 4
Aplicando a transformação
à nossa equação. Usando a identidade
e multiplicando a forma padrão por
ou usando diretamente a fórmula do passo anterior, obtemos
com
e
. Assim
Simplificando os fatores
na multiplicação:
Temos agora uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
onde
e
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
usando fator integrante. O fator integrante
é
Calcule a integral:
logo, desprezando constante multiplicativa,
Multiplicamos a equação linear por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
e
. Portanto
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, faça a substituição
, então
e
Assim
onde
é a constante de integração (absorvendo
). Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, temos
Tomando a potência
em ambos os lados,
onde
é constante arbitrária de integração. Observações importantes para a prova (bem práticas):
- A substituição
falava apenas para . A solução (solução identicamente nula) também satisfaz a equação original e deve ser mencionada separadamente, pois a mudança de variável a exclui. - Para
a solução recupera , que é solução constante incluída na família geral. - Para que
seja real, é necessário que no domínio considerado (caso se queira solução real). Em provas não é raro apenas apresentar a forma geral com a indicação de que é constante arbitrária.