(Aula 2) Dada a equa, ćao
3\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}=2 x y\left(y^{3}-1\right)
(a) Mostre que a equa,ć ao ́e de Bernoulli e indique qual a substitui, ć ao (i.e. mudan, ca de vari’avel) que a torna linear?
(b) Resolva-a pelo m’étodo de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\left(1+x^{2}\right)y' = 2x\,y\left(y^{3}-1\right)
e pede duas coisas:
  • (a) mostrar que a equação é de Bernoulli e indicar a substituição (mudança de variável) que a torna linear;
  • (b) resolver a equação pelo método de Bernoulli.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em termos de y' (derivada de y em relação a x), do fator 1+x^{2}, e de um termo não linear em y que envolve y^{4} e y.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de Bernoulli. Primeiro isolamos y' dividindo por 3(1+x^{2}):
y' = \frac{2x}{3(1+x^{2})}\,y\bigl(y^{3}-1\bigr).
Expandindo o produto em y:
y' = \frac{2x}{3(1+x^{2})}\bigl(y^{4}-y\bigr).
Levantamos todos os termos para a forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}.
Colocando os termos adequadamente:
y' + \frac{2x}{3(1+x^{2})}\,y = \frac{2x}{3(1+x^{2})}\,y^{4}.
Portanto identificamos
p(x)=\frac{2x}{3(1+x^{2})},\qquad q(x)=\frac{2x}{3(1+x^{2})},\qquad n=4.
Como a equação já tem a forma y'+p(x)y=q(x)y^{n} com n\neq0,1, ela é uma equação de Bernoulli. A substituição padrão para Bernoulli é
u = y^{\,1-n}.
Aqui 1-n=1-4=-3, logo a substituição indicada que lineariza a equação é
u = y^{-3}.

Passo 3

Explicando por que essa substituição funciona (mini-aula passo a passo). Para a equação de Bernoulli
y' + p(x)y = q(x)y^{n},
faz-se u=y^{1-n}. Diferenciando u em relação a x usando regra da cadeia:
u' = (1-n)\,y^{-n}\,y'.
Multiplicando a equação original por (1-n)y^{-n} obtemos no lado esquerdo exatamente u' mais um termo proporcional a u, e no lado direito uma função de x (sem dependência em potências desprezíveis de y). Ou seja, o procedimento transforma a Bernoulli não linear numa equação linear de primeira ordem em u:
u' + (1-n)p(x)\,u = (1-n)q(x).
Isso é útil porque equações lineares de primeira ordem são resolvíveis pelo fator integrante. No nosso caso 1-n=-3, então a transformação dá uma equação linear em u.

Passo 4

Aplicando a transformação u=y^{-3} à nossa equação. Usando a identidade u'=(1-n)y^{-n}y'=-3\,y^{-4}y' e multiplicando a forma padrão por -3y^{-4} ou usando diretamente a fórmula do passo anterior, obtemos
u' + (1-n)p(x)\,u = (1-n)q(x)
com p(x)=q(x)=\dfrac{2x}{3(1+x^{2})} e 1-n=-3. Assim
u' -3\cdot\frac{2x}{3(1+x^{2})}\,u = -3\cdot\frac{2x}{3(1+x^{2})}.
Simplificando os fatores 3 na multiplicação:
u' - \frac{2x}{1+x^{2}}\,u = -\frac{2x}{1+x^{2}}.
Temos agora uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
u' + P(x)\,u = R(x),
onde P(x)=-\dfrac{2x}{1+x^{2}} e R(x)=-\dfrac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação linear para u usando fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int -\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = -\ln(1+x^{2}) + C,
logo, desprezando constante multiplicativa,
\mu(x)=e^{-\ln(1+x^{2})}=(1+x^{2})^{-1}.
Multiplicamos a equação linear por \mu(x):
(1+x^{2})^{-1}u' - \frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}u = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{u}{1+x^{2}}, porque
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{1+x^{2}}\right) = (1+x^{2})^{-1}u' + \bigl((1+x^{2})^{-1}\bigr)'u
e \bigl((1+x^{2})^{-1}\bigr)' = -\dfrac{2x}{(1+x^{2})^{2}}. Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{1+x^{2}}\right) = -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\frac{u}{1+x^{2}} = \int -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx + C.
Para calcular a integral, faça a substituição t=1+x^{2}, então dt=2x\,dx e
\int -\frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx = \int -\frac{1}{t^{2}}\,dt = \frac{1}{t} + C' = \frac{1}{1+x^{2}} + C'.
Assim
\frac{u}{1+x^{2}} = \frac{1}{1+x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração (absorvendo C'). Multiplicando por 1+x^{2} obtemos
u = 1 + C\bigl(1+x^{2}\bigr).

Passo 6

Voltar à variável original y. Lembrando que u=y^{-3}, temos
y^{-3} = 1 + C\bigl(1+x^{2}\bigr).
Tomando a potência -\tfrac{1}{3} em ambos os lados,
y(x) = \bigl(1 + C\bigl(1+x^{2}\bigr)\bigr)^{-1/3},
onde C é constante arbitrária de integração. Observações importantes para a prova (bem práticas):
  • A substituição u=y^{-3} falava apenas para y\neq0. A solução y\equiv 0 (solução identicamente nula) também satisfaz a equação original e deve ser mencionada separadamente, pois a mudança de variável a exclui.
  • Para C=0 a solução recupera y\equiv1, que é solução constante incluída na família geral.
  • Para que y(x) seja real, é necessário que 1+C(1+x^{2})>0 no domínio considerado (caso se queira solução real). Em provas não é raro apenas apresentar a forma geral com a indicação de que C é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=\bigl(1 + C\bigl(1+x^{2}\bigr)\bigr)^{-1/3},\quad C\in\mathbb{R}.\n
y(x)\equiv 0.

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