Represente os pares de ponto no plano cartesiano e determine a distância entre eles:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar os pares de ponto no plano cartesiano e determinar a distância entre eles.
As informações dadas são os dois pontos
As informações dadas são os dois pontos
Passo 2
Para representar os pontos no plano cartesiano precisamos lembrar como funcionam os eixos e as coordenadas. O eixo horizontal é o eixo
e o eixo vertical é o eixo
. Cada ponto
fica a
unidades à direita do eixo
(se
) ou à esquerda (se
), e a
unidades acima do eixo
(se
) ou abaixo (se
).
Aplicando isso aos pontos dados:
Aplicando isso aos pontos dados:
- O ponto
fica 1 unidade à esquerda da origem e 1 unidade abaixo da origem. - O ponto
fica 5 unidades à direita da origem e 3 unidades acima da origem.
Se você desenhar um sistema de eixos com escala unitária, marca um ponto eme outro em ; a linha reta que liga esses pontos é o segmento cuja distância queremos calcular.
Passo 3
Agora vamos aprender a fórmula da distância entre dois pontos no plano e por que ela funciona. Considere dois pontos genéricos
Desenhando o segmento que os une, podemos formar um triângulo retângulo traçando a projeção horizontal e vertical entre eles: a diferença horizontal é a base do triângulo e a diferença vertical é a altura. Pelos comprimentos da base e da altura temos
Pelo Teorema de Pitágoras, a distância
entre os pontos (hipotenusa do triângulo) satisfaz
logo
Aqui
e
são os comprimentos (podem ser negativos antes de quadrar, mas o quadrado torna positivo) das projeções horizontal e vertical entre os pontos.
Passo 4
Aplique a fórmula aos pontos do enunciado. Tomamos
Calcule as diferenças:
Passo 5
Agora substituímos na fórmula da distância:
Calcule os quadrados:
logo
Passo 6
Simplifique a raiz. Note que
, e
. Portanto
Se quiser uma aproximação decimal (sem calculadora, é só para referência),
então
Passo 7
Recapitulando: você representa os pontos marcando
(uma para esquerda e uma para baixo da origem) e
(cinco para a direita e três para cima da origem). A distância entre eles é o comprimento do segmento que liga os pontos, calculado pelo Teorema de Pitágoras como mostrado.
Resposta
Representação:
fica uma unidade à esquerda e uma abaixo da origem;
fica cinco unidades à direita e três acima da origem.
Distância: (aproximadamente
).
Distância: