Represente os pares de ponto no plano cartesiano e determine a distância entre eles:
(-1,-1) e (5,3)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar os pares de ponto no plano cartesiano e determinar a distância entre eles.
As informações dadas são os dois pontos
(-1,-1)\quad\text{e}\quad(5,3).

Passo 2

Para representar os pontos no plano cartesiano precisamos lembrar como funcionam os eixos e as coordenadas. O eixo horizontal é o eixo x e o eixo vertical é o eixo y. Cada ponto (x,y) fica a x unidades à direita do eixo y (se x>0) ou à esquerda (se x<0), e a y unidades acima do eixo x (se y>0) ou abaixo (se y<0).
Aplicando isso aos pontos dados:
  • O ponto (-1,-1) fica 1 unidade à esquerda da origem e 1 unidade abaixo da origem.
  • O ponto (5,3) fica 5 unidades à direita da origem e 3 unidades acima da origem.
    Se você desenhar um sistema de eixos com escala unitária, marca um ponto em (-1,-1) e outro em (5,3); a linha reta que liga esses pontos é o segmento cuja distância queremos calcular.

Passo 3

Agora vamos aprender a fórmula da distância entre dois pontos no plano e por que ela funciona. Considere dois pontos genéricos
(x_1,y_1)\quad\text{e}\quad(x_2,y_2).
Desenhando o segmento que os une, podemos formar um triângulo retângulo traçando a projeção horizontal e vertical entre eles: a diferença horizontal é a base do triângulo e a diferença vertical é a altura. Pelos comprimentos da base e da altura temos
\Delta x = x_2-x_1,\qquad \Delta y = y_2-y_1.
Pelo Teorema de Pitágoras, a distância d entre os pontos (hipotenusa do triângulo) satisfaz
d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2,
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d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
Aqui \Delta x e \Delta y são os comprimentos (podem ser negativos antes de quadrar, mas o quadrado torna positivo) das projeções horizontal e vertical entre os pontos.

Passo 4

Aplique a fórmula aos pontos do enunciado. Tomamos
(x_1,y_1)=(-1,-1),\qquad (x_2,y_2)=(5,3).
Calcule as diferenças:
\Delta x = 5-(-1)=6,
\Delta y = 3-(-1)=4.

Passo 5

Agora substituímos na fórmula da distância:
d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2}.
Calcule os quadrados:
6^2 = 36,\qquad 4^2 = 16,
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d = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}.

Passo 6

Simplifique a raiz. Note que 52 = 4\cdot 13, e \sqrt{4}=2. Portanto
d = \sqrt{4\cdot 13} = 2\sqrt{13}.
Se quiser uma aproximação decimal (sem calculadora, é só para referência), \sqrt{13}\approx 3,6055 então
d \approx 2\cdot 3,6055 \approx 7,211.

Passo 7

Recapitulando: você representa os pontos marcando (-1,-1) (uma para esquerda e uma para baixo da origem) e (5,3) (cinco para a direita e três para cima da origem). A distância entre eles é o comprimento do segmento que liga os pontos, calculado pelo Teorema de Pitágoras como mostrado.

Resposta

Representação: (-1,-1) fica uma unidade à esquerda e uma abaixo da origem; (5,3) fica cinco unidades à direita e três acima da origem.
Distância: 2\sqrt{13} (aproximadamente 7,211).

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