Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=-3+\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x) = -3 + \sin\Bigl(x - \frac{\pi}{4}\Bigr).
O conteúdo é função senoidal; vamos usar as fórmulas de período, amplitude e deslocamentos para montar o gráfico.

Passo 2

Para uma função da forma \sin(bx + c), o período é
T = \frac{2\pi}{|b|}.
Aqui o argumento é x - \frac{\pi}{4}, isto é, b=1. Logo
T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi.

Passo 3

Identificamos amplitude e deslocamentos:
  • Amplitude A = 1 (coeficiente de \sin).
  • Deslocamento vertical \;-\!3.
  • Deslocamento horizontal (fase) \;+\frac{\pi}{4} (para a direita).

Passo 4

Escolhemos pontos-chave no intervalo de um período, isto é, de x=\tfrac{\pi}{4} até x=\tfrac{\pi}{4}+2\pi:
Para x=\tfrac{\pi}{4} temos
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -3 + \sin(0) = -3.
Para x=\tfrac{3\pi}{4} (quando o argumento é \tfrac{\pi}{2})
f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) = -3 + \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -3 + 1 = -2.
Para x=\tfrac{5\pi}{4} (argumento \pi)
f\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) = -3 + \sin(\pi) = -3 + 0 = -3.
Para x=\tfrac{7\pi}{4} (argumento \tfrac{3\pi}{2})
f\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr) = -3 + \sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -3 - 1 = -4.
Para x=\tfrac{9\pi}{4} (argumento 2\pi)
f\bigl(\tfrac{9\pi}{4}\bigr) = -3 + \sin(2\pi) = -3 + 0 = -3.

Passo 5

No esboço, ligamos esses pontos com a forma característica de seno, subindo de -3 em \tfrac{\pi}{4} até -2 em \tfrac{3\pi}{4}, voltando a -3 em \tfrac{5\pi}{4}, caindo a -4 em \tfrac{7\pi}{4} e retornando a -3 em \tfrac{9\pi}{4}. Repetimos esse padrão para todo x.

Resposta

Período: 2\pi.
O gráfico é uma senoide de amplitude 1, deslocada verticalmente para baixo em 3 unidades, e deslocada para a direita em \tfrac{\pi}{4}.

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