Determine o período, a imagem e faça o gráfico de dois períodos completos de cada uma das funções
dadas por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o período, a imagem e esboçar dois períodos completos da função trigonométrica f(x)=sen(x/2). O conteúdo aqui é funções periódicas e propriedades da função seno.
Passo 2
Para achar o período de f(x)=sen(x/2) lembramos que uma função g(x)=sen(a x) tem período T=2π/a. No nosso caso a=
1/2, logo
1/2, logo
Passo 3
A imagem de sen(·) é sempre o intervalo de valores entre -1 e 1. Como f(x) só escala o argumento sem mudar a amplitude, temos:
Passo 4
Para esboçar dois períodos completos, note que o primeiro período vai de x=0 até x=4π e o segundo de x=4π até x=8π. Marcamos os pontos-chave:
- Em x=0: sen(0/2)=0
- Em x=π: sen(π/2)=1
- Em x=2π: sen(π)=0
- Em x=3π: sen(3π/2)=-1
- Em x=4π: sen(2π)=0
E então repetimos para o segundo período: - Em x=5π: sen(5π/2)=1
- Em x=6π: sen(3π)=0
- Em x=7π: sen(7π/2)=-1
- Em x=8π: sen(4π)=0
Conectamos esses pontos por uma curva suave em forma de onda senoidal.
Passo 5
Resposta
Período = 4π; Imagem = [-1,1]; Gráfico de dois períodos de x=0 a 8π com os pontos (0,0),(π,1),(2π,0),(3π,-1),(4π,0),(5π,1),(6π,0),(7π,-1),(8π,0).