Seja
uma superficie parametrizada regular e
uma reparametrização de
pela mudança de parâmetros
. Relacione os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de
em
comos de
em
.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamentais de uma parametrização
com os da reparametrização
, onde
. Vamos usar conceitos de diferencial e formas quadráticas.
Passo 2
Para fazer a mudança de parâmetros, consideramos a Jacobiana de
: denotemos
O diferencial de
puxa de volta as formas quadráticas de
.
Passo 3
A primeira forma fundamental de
em
é
Ao reparametrar, obtemos
e substituímos
(
du = u_s,d\sigma + u_\tau,d\tau,\quad dv = v_s,d\sigma + v_\tau,d\tau.
]
Calculando os coeficientes, surge
(
du = u_s,d\sigma + u_\tau,d\tau,\quad dv = v_s,d\sigma + v_\tau,d\tau.
]
Calculando os coeficientes, surge
Passo 4
A segunda forma fundamental de
em
é
Pela mesma lógica do puxamento pela Jacobiana de
, os coeficientes de
satisfazem transformações análogas. Não há operações adicionais além de aplicar o mesmo padrão de substituição para
e
na segunda forma. Os coeficientes finais vêm de expandir e coletar os termos em
.
Resposta
Para a primeira forma fundamental:
Para a segunda forma fundamental: