Seja X: U R^3 uma superficie parametrizada regular e barX: V R^3 uma reparametrização de X pela mudança de parâmetros h: V U. Relacione os coeficientes da primeira e segunda formas quadráticas de barX em barq in V comos de X em h(barq).

Passo 1

O enunciado pede para relacionar os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamentais de uma parametrização X(u,v) com os da reparametrização bar X(sigma,tau)=Xl(h(sigma,tau)r), onde h(sigma,tau)=(u(sigma,tau),v(sigma,tau)). Vamos usar conceitos de diferencial e formas quadráticas.

Passo 2

Para fazer a mudança de parâmetros, consideramos a Jacobiana de h: denotemos
us=partial upartial sigma, utau=partial upartial tau, vs=partial vpartial sigma, vtau=partial vpartial tau
O diferencial de h puxa de volta as formas quadráticas de X.

Passo 3

A primeira forma fundamental de X em (u,v) é
I = E,du^2 + 2F,du,dv + G,dv^2
Ao reparametrar, obtemos
bar I = E,du(sigma,tau)^2 + 2F,du(sigma,tau),dv(sigma,tau) + G,dv(sigma,tau)^2
e substituímos
(
du = u_s,d\sigma + u_\tau,d\tau,\quad dv = v_s,d\sigma + v_\tau,d\tau.
]
Calculando os coeficientes, surge

Passo 4

A segunda forma fundamental de X em (u,v) é
II = e,du^2 + 2f,du,dv + g,dv^2
Pela mesma lógica do puxamento pela Jacobiana de h, os coeficientes de barII satisfazem transformações análogas. Não há operações adicionais além de aplicar o mesmo padrão de substituição para du e dv na segunda forma. Os coeficientes finais vêm de expandir e coletar os termos em dsigma^2, dsigma dtau, dtau^2.

Resposta

Para a primeira forma fundamental:
bar E = E,us^2 + 2F,us vs + G,vs^2, bar F = E,us utau + F,(us vtau + utau vs) + G,vs vtau, bar G = E,utau^2 + 2F,utau vtau + G,vtau^2
Para a segunda forma fundamental:
bar e = e,us^2 + 2f,us vs + g,vs^2, bar f = e,us utau + f,(us vtau + utau vs) + g,vs vtau, bar g = e,utau^2 + 2f,utau vtau + g,vtau^2

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