Seja
uma superficie parametrizada regular. Consideremos duas curvas da superfície
e
parametrizadas pelo comprimento de
que
. Prove que, se
e
têm o mesmo plano osculador em
, então
e
têm a mesma curvatura em
, desde que o plano osculador não seja tangente à superfície
.
Passo 1
Vamos chamar de Π o plano osculador comum a α e β em s₀, e de N_s a normal da superfície X em α(s₀)=β(s₀).
Passo 2
Definimos a curva de interseção γ entre a superfície X e o plano Π: γ(s) pertence a X e a Π, e passa por p=α(s₀)=β(s₀). O vetor tangente de γ em p está em T_pX (tangent plane da superfície) e em Π. Mas α′(s₀) e β′(s₀) também estão em Π e em T_pX (pois α,β estão em X e suas osculating planes são Π). Logo α′(s₀)∥γ′(s₀)∥β′(s₀). Ou seja, T=α′(s₀)=β′(s₀)
Passo 3
Em cada curva δ (δ=α,β,γ) de parámetro de comprimento de arco temos a decomposição da aceleração em normal à superfície e componente tangencial:
onde κ_n=N_s·δ’’(s₀) é a curvatura normal (mesma para α,β pois usam o mesmo T) e κ_g é a curvatura geodésica ao longo do vetor unitário u∈T_pX perpendicular a T.
Passo 4
Como γ está totalmente em Π, sua osculating plane é Π e, sendo curva plana, sua curvatura é toda contida em Π. O ângulo θ entre Π e o plano tangente T_pX satisfaz
onde κ=curvatura total da curva (pois a componente normal à superfície mede o afastamento de T_pX).
Passo 5
Esse ângulo θ depende somente de Π e T_pX, logo é o mesmo para α e β. Como α e β compartilham T (visto no passo 2), têm o mesmo κ_n e o mesmo θ, seguem que
Expressando a curvatura total:
vemos que os dois valores de κ são iguais para α e β em s₀.
Resposta
As curvaturas satisfazem
.