Seja X uma superficie parametrizada regular. Consideremos duas curvas da superfície alpha(s) e beta(s) parametrizadas pelo comprimento de arcotal que alpha(s0)=beta(s0). Prove que, se alpha e beta têm o mesmo plano osculador em s0, então alpha e beta têm a mesma curvatura em s0, desde que o plano osculador não seja tangente à superfície X.

Passo 1

Vamos chamar de Π o plano osculador comum a α e β em s₀, e de N_s a normal da superfície X em α(s₀)=β(s₀).

Passo 2

Definimos a curva de interseção γ entre a superfície X e o plano Π: γ(s) pertence a X e a Π, e passa por p=α(s₀)=β(s₀). O vetor tangente de γ em p está em T_pX (tangent plane da superfície) e em Π. Mas α′(s₀) e β′(s₀) também estão em Π e em T_pX (pois α,β estão em X e suas osculating planes são Π). Logo α′(s₀)∥γ′(s₀)∥β′(s₀). Ou seja, T=α′(s₀)=β′(s₀)

Passo 3

Em cada curva δ (δ=α,β,γ) de parámetro de comprimento de arco temos a decomposição da aceleração em normal à superfície e componente tangencial: δ''(s₀)=κn Ns+κg u, onde κ_n=N_s·δ’’(s₀) é a curvatura normal (mesma para α,β pois usam o mesmo T) e κ_g é a curvatura geodésica ao longo do vetor unitário u∈T_pX perpendicular a T.

Passo 4

Como γ está totalmente em Π, sua osculating plane é Π e, sendo curva plana, sua curvatura é toda contida em Π. O ângulo θ entre Π e o plano tangente T_pX satisfaz sinθ=|κn|κ, onde κ=curvatura total da curva (pois a componente normal à superfície mede o afastamento de T_pX).

Passo 5

Esse ângulo θ depende somente de Π e T_pX, logo é o mesmo para α e β. Como α e β compartilham T (visto no passo 2), têm o mesmo κ_n e o mesmo θ, seguem que
Expressando a curvatura total: κ=|κn|sinθ, vemos que os dois valores de κ são iguais para α e β em s₀.

Resposta

As curvaturas satisfazem κα(s₀)=κβ(s₀).

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