Determine o período, a imagem e faça o gráfico de dois períodos completos de cada uma das funções f: R R dadas por:
f(x)=-sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o período, a imagem (ou seja, o conjunto-alvo) e desenhar dois períodos completos da função f(x)= -sin(x). O conteúdo envolve funções trigonométricas, em especial a função seno e suas transformações básicas (reflexão no eixo x, periodicidade e amplitude).

Passo 2

Para encontrar o período, lembramos que para uma função da forma g(x)= sin(Bx) o período é dado por T=2pi|B|. Aqui temos -sin(x)= -1cdotsin(1cdot x), logo B=1 e
T=2pi1=2pi

Passo 3

Para determinar a imagem, basta notar que a função seno varia entre -1 e +1. A reflexão f(x)=-sin(x) só inverte sinais, mas mantém a amplitude. Então
Im(f)=[-1,1]

Passo 4

Para esboçar dois períodos completos, podemos tomar o intervalo de x=0 até x=4pi. Vamos listar os pontos principais e seu valor em f(x):
  • x=0, f(0)=-sin(0)=0
  • x=pi2, fl(tfracpi2r)=-1
  • x=pi, f(pi)=0
  • x=tfrac3pi2, fl(tfrac3pi2r)=+1
  • x=2pi, f(2pi)=0 (fim do 1º período)
  • x=tfrac5pi2, fl(tfrac5pi2r)=-1
  • x=3pi, f(3pi)=0
  • x=tfrac7pi2, fl(tfrac7pi2r)=+1
  • x=4pi, f(4pi)=0 (fim do 2º período)
    Entre esses pontos, a curva é uma senoide invertida, ligando-os suavemente. f sai de 0 em x=0, desce até -1, volta a zero em x=pi, sobe até +1 em x=3pi/2 e retorna a zero em x=2pi, repetindo esse padrão no segundo período.

Resposta

Período: 2pi
Imagem: [-1,1]
Gráfico de dois períodos (de 0 a 4pi), com pontos principais:
x | 0 | tfracpi2 | pi | tfrac3pi2 | 2pi | tfrac5pi2 | 3pi | tfrac7pi2 | 4pi
f(x)= -sen(x) | 0 | -1 | 0 | +1 | 0 | -1 | 0 | +1 | 0
O esboço é uma senoide refletida: começa em 0, vai a -1, retorna a 0, sobe a +1, volta a 0 e repete uma vez para completar dois períodos.

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