Mostre as seguintes fórmulas por indução:
.
Passo 1
O exercício pede para provar, por indução matemática, que a soma
é igual a
para todo inteiro
. Vamos precisar do princípio de indução: mostrar o caso base e depois o passo indutivo que vai de
para
.
Passo 2
Verificamos o caso base
:
e o lado direito é
Logo o caso base está ok.
Passo 3
Suponha agora que para algum
valha
Passo 4
No passo indutivo, consideramos
Pelo hipótese de indução, isso é
Passo 5
Para somar, usamos o denominador comum
. O primeiro termo vira
e o segundo termo vira
Somando numeradores:
Esse polinômio fatora como
Passo 6
Logo a soma fica
que é exatamente a fórmula desejada para
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 7
Pelo princípio de indução, a identidade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Concluímos que para todo inteiro n\ge1 vale