Mostre as seguintes fórmulas por indução: 11 cdot 2 cdot 3+12 cdot 3 cdot 4+cdots+1n(n+1)(n+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2).

Passo 1

O exercício pede para provar, por indução matemática, que a soma
sumk=1^n 1k(k+1)(k+2)
é igual a
n(n+3)4(n+1)(n+2)
para todo inteiro n>=1. Vamos precisar do princípio de indução: mostrar o caso base e depois o passo indutivo que vai de n para n+1.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1:
sumk=1^1 1k(k+1)(k+2) = 11cdot2cdot3 = 16,
e o lado direito é
1(1+3)4(1+1)(1+2) = 44cdot2cdot3 = 424 = 16
Logo o caso base está ok.

Passo 3

Suponha agora que para algum n>=1 valha
sumk=1^n 1k(k+1)(k+2) = n(n+3)4(n+1)(n+2)

Passo 4

No passo indutivo, consideramos
sumk=1^n+1 1k(k+1)(k+2) = sumk=1^n 1k(k+1)(k+2) + 1(n+1)(n+2)(n+3)
Pelo hipótese de indução, isso é
n(n+3)4(n+1)(n+2) + 1(n+1)(n+2)(n+3)

Passo 5

Para somar, usamos o denominador comum 4(n+1)(n+2)(n+3). O primeiro termo vira
n(n+3)(n+3)4(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)^24(n+1)(n+2)(n+3),
e o segundo termo vira
44(n+1)(n+2)(n+3)
Somando numeradores:
n(n+3)^2 + 4 = n(n^2+6n+9) +4 = n^3+6n^2+9n+4
Esse polinômio fatora como
n^3+6n^2+9n+4 = (n+1)(n^2+5n+4) = (n+1)^2(n+4)

Passo 6

Logo a soma fica
(n+1)^2(n+4)4(n+1)(n+2)(n+3) = (n+1)(n+4)4(n+2)(n+3),
que é exatamente a fórmula desejada para n+1. Isso completa o passo indutivo.

Passo 7

Pelo princípio de indução, a identidade
sumk=1^n 1k(k+1)(k+2) = n(n+3)4(n+1)(n+2)
é verdadeira para todo n>=1.

Resposta

Concluímos que para todo inteiro n\ge1 vale
11cdot2cdot3+12cdot3cdot4+cdots+1n(n+1)(n+2) = n(n+3)4(n+1)(n+2)

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