Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
dada por
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 3 \cdot \sin(4x) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente sobre seno, amplitude, período e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o período de uma função trigonométrica. O período é o intervalo no qual a função completa um ciclo completo e começa a se repetir. Para a função $ \sin(bx) $, o período é dado por $ \frac{2\pi}{b} $.
No nosso caso, a função é $ f(x) = 3 \cdot \sin(4x) $, onde $ b = 4 $. Então, o período será:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Para a função $ \sin(x) $, os valores oscilam entre -1 e 1. Quando multiplicamos por 3, a amplitude da função é alterada. A amplitude é o valor máximo que a função atinge a partir do eixo central (que é 0 para o seno).
Então, a imagem da função $ f(x) = 3 \cdot \sin(4x) $ é:
Passo 4
Por fim, vamos esboçar o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 3 \cdot \sin(4x) $.
Sabemos que:
- O período é $ \frac{\pi}{2} $, então vamos desenhar o gráfico de $ x = 0 $ até $ x = \frac{\pi}{2} $.
- A amplitude é 3, então o gráfico oscilará entre -3 e 3 no eixo y.
- A função seno começa no 0, sobe até a amplitude máxima, desce de volta a 0, desce até a amplitude mínima e retorna a 0 no final do período.
Então, o gráfico será uma curva suave que começa em (0,0), atinge ( $ \frac{\pi}{8} $, 3 ), volta a ( $ \frac{\pi}{4} $, 0 ), desce a ( $ \frac{3\pi}{8} $, -3 ) e retorna a ( $ \frac{\pi}{2} $, 0 ).
Resposta
- Período: $ \frac{\pi}{2} $
- Imagem: $ { y \in \mathbb{R} \mid -3 \leq y \leq 3 } $
- Gráfico: Uma curva de seno que inicia em (0,0), alcança o pico em ( $ \frac{\pi}{8} $, 3 ), retorna a ( $ \frac{\pi}{4} $, 0 ), desce a ( $ \frac{3\pi}{8} $, -3 ) e volta a ( $ \frac{\pi}{2} $, 0 ), completando um ciclo completo.