Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=1+3 cdot sen x2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 1 + 3 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especialmente sobre períodos e intervalos das funções seno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período da função seno. O período padrão da função $ \operatorname{sen}(x) $ é $ 2\pi $. Quando a função está na forma $ \operatorname{sen}(Bx) $, o período muda e é calculado por $ \frac{2\pi}{|B|} $.

Passo 3

Na nossa função, temos $ \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) $, o que significa que $ B = \frac{1}{2} $. Então, o período será:
sen(x2) í

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função. A função geral é $ f(x) = D + A \cdot \operatorname{sen}(Bx) $, onde $ A $ é a amplitude e $ D $ é o deslocamento vertical.
No nosso caso, $ A = 3 $ e $ D = 1 $. A amplitude determina a variação da função, então os valores máximo e mínimo serão:
f(x) = D + A cdot sen(Bx) í
A á
Portanto, a imagem da função é o intervalo:
D

Passo 5

Finalmente, vamos esboçar o gráfico de um período completo da função, que vai de $ x = 0 $ a $ x = 4\pi $. A função oscila entre -2 e 4, com o ponto central em 1. O gráfico será uma curva senoidal com amplitude 3, deslocada para cima em 1 unidade no eixo y.

Resposta

O período da função é $ 4\pi $, a imagem é o intervalo 4pi , e o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 1 + 3 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) $ é uma senoide que oscila entre -2 e 4, com ponto central em 1, estendendo-se de $ x = 0 $ a $ x = 4\pi $.

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