(2,0 pontos) 3 - Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de
, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 2 metros da parede?
Passo 1
O exercício pede a velocidade com que o topo de uma escada está descendo por uma parede quando a base se afasta a certa taxa. O conteúdo principal é taxas relacionadas (related rates) usando o Teorema de Pitágoras, e vamos precisar diferenciar implicitamente em relação ao tempo.
Passo 2
Definimos duas variáveis: a distância horizontal da base ao pé da parede,
, e a altura do topo na parede,
. Pelo Teorema de Pitágoras, como a escada tem comprimento constante 6 m, temos
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação ao tempo
. Aplicando derivada implícita:
Isso porque a derivada de
Passo 4
Isolamos
na equação:
Passo 5
Substituímos os valores do enunciado: quando
m e
m/s, a altura é
m. Então
O sinal negativo indica que o topo está descendo.
Passo 6
Convertendo para valor aproximado,
Ou seja, o topo da escada desliza para baixo a cerca de 0,177 m/s.
Resposta
O topo da escada está escorregando para baixo com velocidade de ,
m/s (aproximadamente ,
m/s).