(2,0 pontos) 3 - Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 0,5 ms, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 2 metros da parede?

Passo 1

O exercício pede a velocidade com que o topo de uma escada está descendo por uma parede quando a base se afasta a certa taxa. O conteúdo principal é taxas relacionadas (related rates) usando o Teorema de Pitágoras, e vamos precisar diferenciar implicitamente em relação ao tempo.

Passo 2

Definimos duas variáveis: a distância horizontal da base ao pé da parede, x(t), e a altura do topo na parede, y(t). Pelo Teorema de Pitágoras, como a escada tem comprimento constante 6 m, temos
x^2 + y^2 = 6^2 = 36

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da equação em relação ao tempo t. Aplicando derivada implícita:
2x dxdt + 2y dydt = 0
Isso porque a derivada de x^2 é 2x,dx/dt e de y^2 é 2y,dy/dt, e a derivada de 36 (constante) é zero.

Passo 4

Isolamos dy/dt na equação:
2y dydt = -2x dxdt Longrightarrow dydt = -xy dxdt

Passo 5

Substituímos os valores do enunciado: quando x=2 m e dx/dt=0,5 m/s, a altura é y=raiz36-2^2=raiz32=4raiz2 m. Então
dydt = -24raiz2 cdot 0,5 = -14raiz2 = -raiz28 m/s
O sinal negativo indica que o topo está descendo.

Passo 6

Convertendo para valor aproximado,
dydt approx -0,177 m/s
Ou seja, o topo da escada desliza para baixo a cerca de 0,177 m/s.

Resposta

O topo da escada está escorregando para baixo com velocidade de , -tfracraiz28 m/s (aproximadamente , -0,177 m/s).

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