Determine o periodo, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=2 cdot cos (x-pi3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especificamente a função cosseno, e como identificar o período e a imagem delas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o período da função. O período de uma função cosseno padrão, que é $ \cos(x) $, é $ 2\pi $. Quando a função está na forma geral $ f(x) = A \cdot \cos(Bx + C) $, o período é calculado por $ \frac{2\pi}{|B|} $.
Na nossa função, $ f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $, podemos ver que $ B = 1 $ (já que está multiplicando apenas $ x $). Então, o período será:
cos(x) í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função cosseno padrão, $ \cos(x) $, está entre -1 e 1, ou seja, $ -1 \leq \cos(x) \leq 1 $. Quando multiplicamos a função por um fator, nesse caso 2, a amplitude muda, e a imagem também se ajusta de acordo.
Então, para $ f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $:
cos(x)
Portanto, a imagem da função é o intervalo de -2 a 2:
-1 <= cos(x) <= 1

Passo 4

Por fim, vamos desenhar o gráfico de um período completo da função $ f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $.
  1. Período: Já vimos que é $ 2\pi $, então vamos traçar o gráfico de $ x = 0 $ até $ x = 2\pi $.
  2. Amplitude: A amplitude é 2, então o gráfico vai oscilar entre 2 e -2.
  3. Deslocamento Horizontal: O termo $ \frac{\pi}{3} $ dentro do cosseno indica que o gráfico está deslocado para a direita em $ \frac{\pi}{3} $ unidades.
Passos para desenhar:
  • Comece traçando o eixo horizontal (x) de 0 a $ 2\pi $ e o eixo vertical (y) de -2 a 2.
  • Marque os pontos de referência: máximo em $ y = 2 $, mínimo em $ y = -2 $, e o ponto de equilíbrio em $ y = 0 $.
  • O pico do cosseno padrão em $ x = 0 $ agora estará deslocado para $ x = \frac{\pi}{3} $.
  • Desenhe a curva suave do cosseno, certificando-se de que completa uma oscilação completa no intervalo de $ 2\pi $.

Resposta

  • Período: $ 2\pi $
  • Imagem: 2pi
  • Gráfico: Um gráfico de $ f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $ com período $ 2\pi $, amplitude 2, e deslocamento horizontal de $ \frac{\pi}{3} $, desenhado no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.

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