Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
dada por
;
Passo 1
A função é dada por f(x)=−2 agen x. O conteúdo aqui é análise de funções trigonométricas, em particular período e imagem de uma função seno modificada, e fazer o esboço de um período completo.
Passo 2
Sabendo que a função seno básica tem período 2π e que multiplicar o argumento ou o valor por constantes não altera o período (desde que o argumento não seja multiplicado), concluímos que o período de f(x)=−2 agen x é igual ao período de sen agen x, ou seja,
Passo 3
Para encontrar a imagem, a gente observa que o coeficiente −2 multiplica o valor de sen agen x, cuja imagem é [−1,1]. Multiplicando por −2, a amplitude fica 2, e a reflexão inverte apenas o sinal, mas a imagem continua simétrica:
Passo 4
Para fazer o gráfico num período completo, escolhemos o intervalo [0,2π] e calculamos alguns pontos-chave:
• x=0 ⇒ f(0)=−2·sen agen0=0
• x=π/2 ⇒ f(π/2)=−2·sen(π/2)=−2
• x=π ⇒ f(π)=−2·sen agenπ=0
• x=3π/2 ⇒ f(3π/2)=−2·sen(3π/2)=2
• x=2π ⇒ f(2π)=−2·sen(2π)=0
• x=0 ⇒ f(0)=−2·sen agen0=0
• x=π/2 ⇒ f(π/2)=−2·sen(π/2)=−2
• x=π ⇒ f(π)=−2·sen agenπ=0
• x=3π/2 ⇒ f(3π/2)=−2·sen(3π/2)=2
• x=2π ⇒ f(2π)=−2·sen(2π)=0
Passo 5
Esboçando o gráfico: começamos em (0,0), descemos suavemente até (π/2,−2), voltamos a 0 em (π,0), subimos até (3π/2,2) e retornamos a 0 em (2π,0), desenhando a forma de uma senoide refletida verticalmente e comprimida/ampliada conforme amplitude 2.
Resposta
Período: 2π
Imagem: [−2, 2]
Gráfico no intervalo [0,2π]: senoide invertida que passa por (0,0), (π/2,−2), (π,0), (3π/2,2) e (2π,0).