Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=-3 cos x;

Passo 1

Temos a função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=−3 cos x. O conteúdo aqui é função cosseno, período, amplitude, imagem (intervalo de valores) e esboço de gráfico. Para resolver, vamos usar as propriedades da função coseno e das transformações por fator de escala e reflexão.

Passo 2

A função geral f(x)=A cos(Bx+C)+D tem período T=2π/|B|. No nosso caso, A=−3, B=1, C=0 e D=0. Logo, o período de f é T=2π/|1|=2π.

Passo 3

Para encontrar a imagem, lembramos que cos x varia entre −1 e 1. Multiplicando por −3, temos: quando cos x=1 → f(x)=−3·1=−3; quando cos x=−1 → f(x)=−3·(−1)=3. Assim, f(x) varia entre −3 e 3, ou seja, Im(f)=[−3,3].

Passo 4

Para esboçar um período completo de f, consideramos x de 0 a 2π e calculamos pontos-chave: • x=0 → f(0)=−3 cos 0=−3; • x=π/2 → f(π/2)=−3 cos(π/2)=0; • x=π → f(π)=−3 cos π=3; • x=3π/2 → f(3π/2)=−3 cos(3π/2)=0; • x=2π → f(2π)=−3 cos 2π=−3. Conectamos esses pontos com a forma típica de cosseno invertido (inicia em −3, sobe até 3 em π, volta a −3 em 2π).

Resposta

Período: 2π
Imagem: [−3,3]
Gráfico de um período completo (0≤x≤2π): ponto em (0,−3), sobe passando em (π/2,0), atinge (π,3), desce passando em (3π/2,0) e retorna a (2π,−3), com formato de cosseno invertido.

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