Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=2-cos x;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o período, a imagem (range) e esboçar o gráfico de um período completo da função f dada por f(x)=2−cos x. Isso envolve conhecer as propriedades básicas da função cosseno: seu período, seus valores máximos e mínimos, e como translações verticais afetam tudo.

Passo 2

A função básica cos x tem período 2π, ou seja, cos (x+2π)=cos x para todo x. Como em f(x)=2−cos x só há uma subtração de cos x por 2 (uma translação vertical), isso não altera o período. Logo o período de f é 2π.

Passo 3

Para achar a imagem de f, lembramos que cos x varia entre −1 e 1, ou seja, cos x∈[−1,1]. Fazendo f(x)=2−cos x, subtraímos esses valores de 2, obtendo
f(x)in[2−1,;2−(−1)]=[1,3]
Então a imagem de f é [1,3].

Passo 4

Para esboçar o gráfico de um período, escolhemos o intervalo [0,2π] (comprimento 2π) e calculamos f em pontos-chave:
• x=0 ⇒ f(0)=2−cos 0=2−1=1
• x=π/2 ⇒ f(π/2)=2−cos(π/2)=2−0=2
• x=π ⇒ f(π)=2−cos π=2−(−1)=3
• x=3π/2 ⇒ f(3π/2)=2−cos(3π/2)=2−0=2
• x=2π ⇒ f(2π)=2−cos(2π)=2−1=1
Ligamos esses pontos por uma curva suave que inicia em (0,1), sobe até (π,3) e volta a (2π,1), formando uma “ondinha” invertida de cosseno elevada.

Passo 5

No esboço, o gráfico começa em f(0)=1, cresce suavemente até f(π)=3 e decresce de volta a f(2π)=1, respeitando o formato de cosseno invertido (já que é 2−cos x) e preenchendo todo o intervalo [1,3].

Resposta

Período: 2π
Imagem (range): [1,3]
Gráfico de um período em [0,2π]: pontos (0,1), (π/2,2), (π,3), (3π/2,2), (2π,1) ligados por uma curva suave em forma de cosseno invertido elevado.

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