Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=2-sen x;

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o período, a imagem e desenhar um período completo da função f(x)=2-sin x. O conteúdo envolvido é função trigonométrica (seno), período e amplitude/ deslocamento vertical.

Passo 2

A função f(x)=2-sin x tem a mesma frequência de sin x, que é 1. Como o período padrão de sin x é 2pi, concluímos que o período de f também é 2pi.

Passo 3

Para a imagem, lembramos que sin x varia em [-1,1]. Então -sin x também varia em [-1,1]. Somando 2 a tudo, temos
2 + [-1,1] = [2-1,,2+1] = [1,3]

Passo 4

Para esboçar o gráfico em um período de x=0 a x=2pi, identificamos os pontos-chave:
  • x=0: f(0)=2-sin0=2.
  • x=pi2: fl(tfracpi2r)=2-1=1.
  • x=pi: f(pi)=2-0=2.
  • x=tfrac3pi2: fl(tfrac3pi2r)=2-(-1)=3.
  • x=2pi: f(2pi)=2-0=2.
    Ligando esses pontos numa curva suave, obtemos um seno invertido (pico mínimo em x=tfracpi2, pico máximo em x=tfrac3pi2) deslocado para cima em 2 unidades e variando entre 1 e 3.

Resposta

Período: 2pi. Imagem: [1,3]. Gráfico em um período de 0 a 2pi: curva senoidal invertida com pontos (0,2), ( pi/2,1), ( pi,2), ( 3pi/2,3), (2\pi,2).

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