Obtenha as aproximações de 1 / pi nas etapas k=4 e k=10. Então, calcule as correspondentes aproximações de pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar aproximações para $ \frac{1}{\pi} $ nas etapas $ k = 4 $ e $ k = 10 $. Depois disso, vamos inverter essas aproximações para obter aproximações para $ \pi $ mesmo. Para resolver isso, vamos usar uma série matemática que nos permite calcular aproximações sucessivas de $ \frac{1}{\pi} $. Precisa ficar atento aos cálculos passo a passo para entender como cada aproximação é obtida.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma série que converge para $ \frac{1}{\pi} $. Uma opção é utilizar a série de Leibniz para $ \pi $, que é conhecida por ser simples, embora não a mais eficiente:
1pi
Para encontrar $ \frac{1}{\pi} $, podemos inverter essa série. No entanto, inverter uma série infinita diretamente é complicado, então vamos adotar uma abordagem alternativa: calcular a aproximação de $ \pi $ usando a série e depois inverter o resultado para obter $ \frac{1}{\pi} $.

Passo 3

Vamos calcular a aproximação de $ \pi $ usando os primeiros $ k $ termos da série de Leibniz. Para $ k = 4 $, temos:
pi
Calculando cada termo:
k
Somando:
k = 4
Multiplicando por 4:
pi approx 4 ( 1 - 13 + 15 - 17 )
Agora, para encontrar $ \frac{1}{\pi} $:
1 = 1 -13 approx -0.3333 +15 = 0.2 -17 approx -0.1429

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para $ k = 10 $. Calculamos os primeiros 10 termos da série de Leibniz:
k = 10
Calculando cada termo:
pi approx 4 ( 1 - 13 + 15 - 17 + 19 - 111 + 113 - 115 + 117 - 119 )
Somando:
1 = 1 -13 approx -0.3333 +15 = 0.2 -17 approx -0.1429 +19 approx 0.1111 -111 approx -0.0909 +113 approx 0.0769 -115 approx -0.0667 +117 approx 0.0588 -119 approx -0.0526
Multiplicando por 4:
1 - 0.3333 + 0.2 - 0.1429 + 0.1111 - 0.0909 + 0.0769 - 0.0667 + 0.0588 - 0.0526 approx 0.7604
E invertendo para encontrar $ \frac{1}{\pi} $:
pi approx 4 times 0.7604 approx 3.0416

Resposta

Aproximações de $ \frac{1}{\pi} $:
  • Para $ k = 4 $: $ \frac{1}{\pi} \approx 0.3455 $
  • Para $ k = 10 $: $ \frac{1}{\pi} \approx 0.3289 $
Correspondentes aproximações de $ \pi $:
  • Para $ k = 4 $: $ \pi \approx 2.8952 $
  • Para $ k = 10 $: $ \pi \approx 3.0416 $

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