Obtenha as aproximações de
nas etapas
e
. Então, calcule as correspondentes aproximações de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar aproximações para $ \frac{1}{\pi} $ nas etapas $ k = 4 $ e $ k = 10 $. Depois disso, vamos inverter essas aproximações para obter aproximações para $ \pi $ mesmo. Para resolver isso, vamos usar uma série matemática que nos permite calcular aproximações sucessivas de $ \frac{1}{\pi} $. Precisa ficar atento aos cálculos passo a passo para entender como cada aproximação é obtida.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma série que converge para $ \frac{1}{\pi} $. Uma opção é utilizar a série de Leibniz para $ \pi $, que é conhecida por ser simples, embora não a mais eficiente:
Para encontrar $ \frac{1}{\pi} $, podemos inverter essa série. No entanto, inverter uma série infinita diretamente é complicado, então vamos adotar uma abordagem alternativa: calcular a aproximação de $ \pi $ usando a série e depois inverter o resultado para obter $ \frac{1}{\pi} $.
Passo 3
Vamos calcular a aproximação de $ \pi $ usando os primeiros $ k $ termos da série de Leibniz. Para $ k = 4 $, temos:
Calculando cada termo:
Somando:
Multiplicando por 4:
Agora, para encontrar $ \frac{1}{\pi} $:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para $ k = 10 $. Calculamos os primeiros 10 termos da série de Leibniz:
Calculando cada termo:
Somando:
Multiplicando por 4:
E invertendo para encontrar $ \frac{1}{\pi} $:
Resposta
Aproximações de $ \frac{1}{\pi} $:
- Para $ k = 4 $: $ \frac{1}{\pi} \approx 0.3455 $
- Para $ k = 10 $: $ \frac{1}{\pi} \approx 0.3289 $
Correspondentes aproximações de $ \pi $:
- Para $ k = 4 $: $ \pi \approx 2.8952 $
- Para $ k = 10 $: $ \pi \approx 3.0416 $