Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas abaixo:
f: R R dada por f(x)=1+sen x;

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função f dada por f(x)=1+sen x, ou seja, uma transformação vertical da função seno. O conteúdo envolvido é de funções periódicas, conhecendo-se o período do seno, sua amplitude e deslocamento vertical, e em seguida traçar um período completo da curva.

Passo 2

Para achar o período, basta lembrar que a função básica sen x tem período 2π, ou seja, repete seu padrão a cada 2π unidades. Como em f(x)=1+sen x não há coeficiente multiplicando x dentro do seno, o período permanece o mesmo. Logo,

Passo 3

Para achar a imagem (conjunto‐alvo) usamos que sen x varia entre –1 e +1. Então f(x)=1+sen x varia entre 1+(-1)=0 e 1+1=2, isto é,

Passo 4

Para desenhar um período completo, escolhemos o intervalo [0,2π]. Marcamos os pontos-chave: em x=0, f(0)=1; em x=π/2, f(π/2)=2; em x=π, f(π)=1; em x=3π/2, f(3π/2)=0; e em x=2π, f(2π)=1. Ligamos esses pontos com a curva suave característica do seno, deslocada para cima de +1.

Resposta

Período: 2π
Imagem: [0, 2]
Gráfico num período [0,2π]: pontos (0,1), (π/2,2), (π,1), (3π/2,0), (2π,1) unidos pela curva típica de seno deslocada para cima de 1.

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