Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
\mathrm{U}=-\frac{\mathrm{U}_{0}}{\mathrm{c}^{2} \alpha \mathrm{x}},-\mathrm{U}_{0}<\mathrm{E}<0

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(x) = -\frac{U_0}{c^{2}\,\alpha\,x},
onde U_0>0 e pede o período de oscilação em função da energia E no intervalo -U_0 < E < 0. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • A massa da partícula é m.
  • A energia total da partícula é uma constante \;E com -U_0 < E < 0.
  • Pedir o período T(E) da oscilação (tempo para uma oscilação completa).
    Informações relevantes que tiramos do enunciado:
  • A função U(x) é negativa para x>0 e tem singularidade em x=0.
  • Para um dado E negativo, os pontos de viragem (turning points) são as soluções de E = U(x).
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Fórmula geral para o período: para movimento unidimensional conservativo com energia E e potencial U(x), o período T (quando há movimento oscilatório entre x_\text{min} e x_\text{max}) é
T = 2\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\frac{dx}{v(x)},
onde v(x) é a velocidade dada por conservação de energia:
\frac{1}{2}m v(x)^2 + U(x) = E \quad\Longrightarrow\quad v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\bigl(E-U(x)\bigr)}.
Substituindo v(x) obtemos a forma prática que vamos usar:
T = 2\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}} = \sqrt{2m}\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}.
Nesta expressão todas as variáveis físicas estão claras: m massa, E energia total, U(x) potencial.

Passo 3

Encontrar os pontos de viragem x_{\min} e x_{\max} resolvendo E=U(x).
Resolver
E = -\frac{U_0}{c^{2}\alpha x}.
Como E<0, escrevendo |E|=-E obtemos
|E| = \frac{U_0}{c^{2}\alpha x}\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{U_0}{c^{2}\alpha|E|}.
Denotando
A \equiv \frac{U_0}{c^{2}\alpha},
o ponto de viragem finito é
x_{\max}= \frac{A}{|E|} = \frac{A}{-E}.
Observação sobre o outro extremo: como U(x)\to -\infty quando x\to 0^{+}, a região classically permitida (onde E-U(x)\ge0) é 0<x\le x_{\max}. Assim x_{\min}=0 (limite à direita). Logo a oscilação matemática vai de x=0 a x=x_{\max} e volta. (Usaremos x_{\min}=0 no integral; o integral se comporta bem perto de 0 e é convergente.)

Passo 4

Escrever o período com os limites encontrados e com A:
T(E)=\sqrt{2m}\int_{0}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E+\,\dfrac{A}{x}}}.
Aqui substituí U(x)=-A/x e notei E-U(x)=E+ A/x. Como E<0 vou usar |E|=-E para simplificar a integral.

Passo 5

Fazer a mudança de variável que simplifica o integrando. Defina
x = \frac{A}{|E|}\,s \qquad\text{com}\qquad s\in(0,1),
pois quando x=0 temos s=0 e quando x=x_{\max}=A/|E| temos s=1. Então dx=\dfrac{A}{|E|}\,ds. Calcule o denominador:
E+\frac{A}{x} = -|E| + \frac{A}{\tfrac{A}{|E|} s} = -|E| + \frac{|E|}{s} = |E|\!\left(\frac{1}{s}-1\right)=|E|\frac{1-s}{s}.
Portanto
\sqrt{E+\frac{A}{x}}=\sqrt{|E|}\sqrt{\frac{1-s}{s}}.
Substituindo na integral,
\int_{0}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E+\tfrac{A}{x}}} = \int_{0}^{1}\frac{\dfrac{A}{|E|}\,ds}{\sqrt{|E|}\sqrt{\dfrac{1-s}{s}}} = \frac{A}{|E|^{3/2}}\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{s}{1-s}}\,ds.

Passo 6

Avaliar o integral beta que apareceu:
I\equiv\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{s}{1-s}}\,ds.
Use a substituição trigonométrica padrão s=\sin^{2}\theta, com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Então ds=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta e
\sqrt{\frac{s}{1-s}}=\sqrt{\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}=\tan\theta.
Logo
I=\int_{0}^{\pi/2}\tan\theta\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Usando \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) obtemos
I=2\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}(1-\cos 2\theta)\,d\theta =\Bigl[\theta-\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}.
Portanto o integral vale I=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Reunir tudo: a integral do Passo 5 vale
\int_{0}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E+\tfrac{A}{x}}} = \frac{A}{|E|^{3/2}}\cdot\frac{\pi}{2}.
Substituindo na expressão para T(E) do Passo 4,
T(E)=\sqrt{2m}\cdot\frac{A\pi}{2|E|^{3/2}}.
Lembrando A=\dfrac{U_0}{c^{2}\alpha} e |E|=-E (já que E<0), podemos escrever o resultado como
T(E)=\frac{\pi\,A\sqrt{2m}}{2(-E)^{3/2}} = \frac{\pi\,U_{0}\sqrt{2m}}{2\,c^{2}\alpha\,(-E)^{3/2}}.
Uma forma alternativa, simplificando \sqrt{2m}/2=\sqrt{m/2}, é
T(E)=\frac{\pi\,U_{0}}{c^{2}\alpha}\,\frac{\sqrt{m/2}}{(-E)^{3/2}}.

Resposta

T(E)=\frac{\pi\,U_{0}\sqrt{2m}}{2\,c^{2}\alpha\,(-E)^{3/2}},\qquad -U_{0}<E<0

Exercícios relacionados