Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
onde
e pede o período de oscilação em função da energia
no intervalo
. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- A massa da partícula é
. - A energia total da partícula é uma constante
com . - Pedir o período
da oscilação (tempo para uma oscilação completa).
Informações relevantes que tiramos do enunciado: - A função
é negativa para e tem singularidade em . - Para um dado
negativo, os pontos de viragem (turning points) são as soluções de .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Fórmula geral para o período: para movimento unidimensional conservativo com energia
e potencial
, o período
(quando há movimento oscilatório entre
e
) é
onde
é a velocidade dada por conservação de energia:
Substituindo
obtemos a forma prática que vamos usar:
Nesta expressão todas as variáveis físicas estão claras:
massa,
energia total,
potencial.
Passo 3
Encontrar os pontos de viragem
e
resolvendo
.
Resolver
Resolver
Como
, escrevendo
obtemos
Denotando
o ponto de viragem finito é
Observação sobre o outro extremo: como
quando
, a região classically permitida (onde
) é
. Assim
(limite à direita). Logo a oscilação matemática vai de
a
e volta. (Usaremos
no integral; o integral se comporta bem perto de
e é convergente.)
Passo 4
Escrever o período com os limites encontrados e com
:
Aqui substituí
e notei
. Como
vou usar
para simplificar a integral.
Passo 5
Fazer a mudança de variável que simplifica o integrando. Defina
pois quando
temos
e quando
temos
. Então
. Calcule o denominador:
Portanto
Substituindo na integral,
Passo 6
Avaliar o integral beta que apareceu:
Use a substituição trigonométrica padrão
, com
. Então
e
Logo
Usando
obtemos
Portanto o integral vale
.
Passo 7
Reunir tudo: a integral do Passo 5 vale
Substituindo na expressão para
do Passo 4,
Lembrando
e
(já que
), podemos escrever o resultado como
Uma forma alternativa, simplificando
, é