Um medidor de intensidade luminosa indica que uma placa de vidro interposta a um feixe de luz incidente permite a passagem de 80 \% da intensidade original \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Obtenha uma expressão para a intensidade \mathrm{I}_{\mathrm{n}} (quando n placas iguais forem interpostas) como função de \mathrm{I}_{\circ} \mathrm{e} \mathbf{n}. Determine, também, o número mínimo de placas que devem ser interpostas para que a intensidade seja menor que 20 \% de \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Dado: \log 5=0,699.
a.) \mathrm{I}_{\mathrm{n}}=(0,8)^{\mathrm{n}} \times \mathrm{I}_{\mathrm{o}} e 7 placas.
b.) \mathrm{I}_{\mathrm{n}}=(0,2)^{\mathrm{n}} \times \mathrm{I}_{\mathrm{o}} e 2 placas.
c.) \mathrm{I}_{\mathrm{n}}=(0,8)^{\mathrm{n}} \times \mathrm{I}_{\mathrm{o}} e 8 placas.
d.) \mathrm{I}_{\mathrm{n}}=(0,8 / \mathrm{n}) \times \mathrm{I}_{\mathrm{o}} e 5 placas.
e.) nenhuma das anteriores

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma placa de vidro deixa passar 80\% da intensidade incidente I_{0}. Ou seja, cada placa multiplica a intensidade que incide sobre ela por 0,8.
  • Perguntas:
    1. Obter uma expressão para a intensidade I_{n} depois de n placas iguais, em função de I_{0} e n.
    2. Determinar o número mínimo de placas n para que I_{n} seja menor que 20\% de I_{0} (ou seja, I_{n}<0,2\,I_{0}).
Observação: foi dado \log 5 = 0,699 (logaritmo decimal).

Passo 2

Construção da expressão para I_{n}.
Cada placa reduz a intensidade por um fator 0,8. Se houver uma placa, a intensidade transmitida é
I_{1}=0,8\times I_{0}.
Se houver duas placas, cada uma aplica o mesmo fator 0,8, então
I_{2}=0,8\times I_{1}=0,8\times(0,8\times I_{0})=(0,8)^{2}I_{0}.
Continuando esse raciocínio, para n placas o fator 0,8 aparece multiplicado n vezes, o que dá uma potência. Logo a expressão geral é
I_{n}=(0,8)^{n}\times I_{0}.
Explicação didática rápida: Quando uma mesma operação multiplicativa é repetida n vezes, o resultado é uma potência. Aqui a operação é "multiplicar por 0,8".

Passo 3

Escrever a desigualdade que determina n.
Queremos I_{n}<0,2\,I_{0}. Substituindo a expressão de I_{n} temos
(0,8)^{n}I_{0}<0,2\,I_{0}.
Como I_{0}>0, podemos dividir ambos os lados por I_{0} sem alterar a desigualdade:
(0,8)^{n}<0,2.

Passo 4

Transformar a desigualdade em forma conveniente para usar logaritmos.
É útil trabalhar com frações para simplificar logaritmos. Note que 0,8=\tfrac{4}{5} e 0,2=\tfrac{1}{5}. A desigualdade vira
\left(\frac{4}{5}\right)^{n}<\frac{1}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 5^{n} (positivo) obtemos
4^{n}<5^{n-1}.
Agora aplicamos logaritmo decimal (função crescente) aos dois lados para trazer o expoente para frente. Usando propriedade \log a^{b}=b\log a:
n\log 4 < (n-1)\log 5.
Desenvolvendo o lado direito:
n\log 4 < n\log 5 - \log 5.
Passando os termos com n para o mesmo lado:
n(\log 5 - \log 4) > \log 5.
Portanto
n > \frac{\log 5}{\log 5 - \log 4}.
Comentário didático: note que ao reorganizar evitamos dividir por um log negativo — fizemos manipulações algébricas que mantêm a desigualdade correta sem armadilhas de sinal.

Passo 5

Calcular numericamente o limite usando \log 5=0,699.
Precisamos de \log 4. Como 4=2^{2} e 10=2\times5, vale \log 2 = 1 - \log 5. Assim
\log 2 = 1 - 0,699 = 0,301.
Logo
\log 4 = \log(2^{2}) = 2\log 2 = 2\times 0,301 = 0,602.
Agora compute o denominador
\log 5 - \log 4 = 0,699 - 0,602 = 0,097.
Então
n > \frac{0,699}{0,097}\approx 7,206\ldots

Passo 6

Interpretar o resultado e escolher o menor n inteiro.
A desigualdade diz que n deve ser maior que aproximadamente 7,206. Como n é número de placas (inteiro e positivo), o menor valor inteiro que satisfaz é n=8.
Verificação rápida (intuitiva): com n=7 temos (0,8)^{7}\approx 0,209\ldots (ainda maior que 0,2), e com n=8 temos (0,8)^{8}\approx 0,167\ldots (menor que 0,2). Portanto são necessárias 8 placas.

Resposta

I_{n}=(0,8)^{n}\times I_{0}
8 placas.

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