Um medidor de intensidade luminosa indica que uma placa de vidro interposta a um feixe de luz incidente permite a passagem de
da intensidade original
. Obtenha uma expressão para a intensidade
(quando n placas iguais forem interpostas) como função de
. Determine, também, o número mínimo de placas que devem ser interpostas para que a intensidade seja menor que
de
. Dado:
.
a.)
e 7 placas.
b.)
e 2 placas.
c.)
e 8 placas.
d.)
e 5 placas.
e.) nenhuma das anteriores
a.)
b.)
c.)
d.)
e.) nenhuma das anteriores
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma placa de vidro deixa passar
da intensidade incidente . Ou seja, cada placa multiplica a intensidade que incide sobre ela por . - Perguntas:
- Obter uma expressão para a intensidade
depois de placas iguais, em função de e . - Determinar o número mínimo de placas
para que seja menor que de (ou seja, ).
- Obter uma expressão para a intensidade
Observação: foi dado
(logaritmo decimal).
Passo 2
Construção da expressão para
.
Cada placa reduz a intensidade por um fator
. Se houver uma placa, a intensidade transmitida é
Se houver duas placas, cada uma aplica o mesmo fator
, então
Continuando esse raciocínio, para
placas o fator
aparece multiplicado
vezes, o que dá uma potência. Logo a expressão geral é
Explicação didática rápida: Quando uma mesma operação multiplicativa é repetida
vezes, o resultado é uma potência. Aqui a operação é "multiplicar por
".
Passo 3
Escrever a desigualdade que determina
.
Queremos
. Substituindo a expressão de
temos
Como
, podemos dividir ambos os lados por
sem alterar a desigualdade:
Passo 4
Transformar a desigualdade em forma conveniente para usar logaritmos.
É útil trabalhar com frações para simplificar logaritmos. Note que
e
. A desigualdade vira
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) obtemos
Agora aplicamos logaritmo decimal (função crescente) aos dois lados para trazer o expoente para frente. Usando propriedade
:
Desenvolvendo o lado direito:
Passando os termos com
para o mesmo lado:
Portanto
Comentário didático: note que ao reorganizar evitamos dividir por um log negativo — fizemos manipulações algébricas que mantêm a desigualdade correta sem armadilhas de sinal.
Passo 5
Calcular numericamente o limite usando
.
Precisamos de
. Como
e
, vale
. Assim
Logo
Agora compute o denominador
Então
Passo 6
Interpretar o resultado e escolher o menor
inteiro.
A desigualdade diz que
deve ser maior que aproximadamente
. Como
é número de placas (inteiro e positivo), o menor valor inteiro que satisfaz é
.
Verificação rápida (intuitiva): com
temos
(ainda maior que
), e com
temos
(menor que
). Portanto são necessárias
placas.
Resposta
8 placas.