Uma onda transversal, senoidal, de freqüência \mathbf{f}, propaga-se ao longo de uma corda, com uma velocidade v. Calcular a distância entre dois pontos da corda que oscilam defasados de um ângulo \alpha.
a.) x=\alpha v / f
b.) \mathrm{x}=\mathrm{v} \alpha /(2 \pi \mathrm{f})
c.) x=\alpha v /(2 f)
d.) x=2 \pi \alpha \mathrm{~V} / \mathrm{f}
e.) x=2 \pi v /(\alpha f)

Passo 1

O enunciado dá uma onda transversal senoidal que se propaga ao longo de uma corda com:
  • frequência \,f,;
  • velocidade de propagação \,v,;
  • e pede a distância entre dois pontos da corda que oscilam defasados de um ângulo \,\alpha.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A onda é senoidal (forma periódica com fase bem definida).
  • Quer-se a separação espacial \,x entre dois pontos cujo desfase é \,\alpha.
  • Variáveis conhecidas/nomes: \,f (frequência), \,v (velocidade), \,\alpha (diferença de fase).

Passo 2

Escrever a forma geral de uma onda senoidal e definir as quantidades que vamos usar. Uma forma usual é
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t+\phi_0\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (não importa aqui),
  • k é o número de onda, que mede quanto a fase varia por unidade de comprimento,
  • \omega é a pulsação (ou frequência angular), que mede quanto a fase varia por unidade de tempo,
  • \phi_0 é uma fase inicial.
Definições e relações importantes:
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f,
onde \lambda é o comprimento de onda. A relação entre \lambda, f e v é
v=\lambda f.
Expliquei cada símbolo para ficar claro: k em radianos por metro, \omega em radianos por segundo, \lambda em metros, f em hertz e v em metros por segundo.

Passo 3

Determinar a diferença de fase entre dois pontos separados por uma distância \,x no mesmo instante t. A fase dependente de x é kx. Se fixamos um mesmo instante t, a diferença de fase entre o ponto em x=0 e o ponto em x é
\Delta\varphi = kx.
Queremos que essa diferença seja \Delta\varphi=\alpha. Assim
kx=\alpha\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{\alpha}{k}.
Substituindo k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, obtemos
x=\frac{\alpha}{2\pi/\lambda}=\frac{\alpha\,\lambda}{2\pi}.
Agora usar \lambda=\dfrac{v}{f} para escrever tudo em termos de v, f e \alpha:
x=\frac{\alpha}{2\pi}\cdot\frac{v}{f}=\frac{v\alpha}{2\pi f}.

Passo 4

Verificação rápida (checagem de consistência): se \alpha=2\pi (uma volta de fase), então
x=\frac{v(2\pi)}{2\pi f}=\frac{v}{f}=\lambda,
ou seja, a distância correspondente a \alpha=2\pi é uma comprimento de onda \lambda, exatamente como deve ser. Isso confirma que a expressão está coerente.

Passo 5

Alternativa de raciocínio (mesma resposta, via atraso temporal) para fixar a intuição: uma diferença de fase \alpha equivale a um atraso temporal \Delta t tal que \alpha=\omega\Delta t. Como \omega=2\pi f,
\Delta t=\frac{\alpha}{2\pi f}.
Em \Delta t a onda avança uma distância x=v\Delta t, logo
x=v\cdot\frac{\alpha}{2\pi f}=\frac{v\alpha}{2\pi f},
mesma fórmula anterior — bom sinal.

Resposta

b) \,x=\dfrac{v\alpha}{2\pi f}

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