Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=-1+2 csc (2 x)

Passo 1

O enunciado pede análise da função
f(x) = -1 + 2,csc(2x)
em termos de período, paridade, domínio, imagem e gráfico em um período completo. Vamos usar propriedades de funções trigonométricas (período da csc, zeros de seno, transformações verticais e horizontais) para resolver.

Passo 2

Período da função:
A função básica csc t tem período 2pi. Como aqui o argumento é 2x, o período T satisfaz
2(x+T) - 2x = 2pi Longrightarrow 2T = 2pi Longrightarrow T = pi

Passo 3

Paridade da função:
Calculamos
f(-x) = -1 + 2,cscl(-2xr) = -1 - 2,csc(2x)
Nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x) se verificam, logo f é nem par nem ímpar.

Passo 4

Domínio da função:
existe só quando , i.e.
Portanto
Para um período completo, por exemplo, escolhemos o intervalo , cujo domínio é

Passo 5

Imagem da função:
Sabendo que
csc varia em (-infty,-1]cup[1,infty), então
2,csc(2x)in(-infty,-2]cup[2,infty),
e somando -1 obtemos
f(x)in(-infty,-3];cup;[1,infty)

Passo 6

Gráfico em um período (0,pi):
  • assíntotas verticais em x=0, x=tfracpi2 e x=pi.
  • No ramo (0,tfracpi2), sin(2x)>0, o gráfico vai de +infty em xto0^+ até um mínimo em x=tfracpi4, fl(tfracpi4r)=-1+2cdot1=1, e volta a +infty em xto(tfracpi2)^-.
  • No ramo (tfracpi2,pi), sin(2x)<0, o gráfico vai de -infty em xto(tfracpi2)^+ até um máximo em x=tfrac3pi4, fl(tfrac3pi4r)=-1+2cdot(-1)=-3, e volta a -infty em xtopi^-.
    Esse esboço mostra as duas “cumbas” características de csc deslocada verticalmente em -1 e esticada por 2.

Resposta

Período: pi
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio: Rsetminuslkpi/2colon kinZr (em um período completo, (0,pi)setminuspi/2)
Imagem: (-infty,-3]cup[1,infty)
Gráfico na restrição a (0,pi): duas curvas com assíntotas verticais em 0,pi2,pi; mínimo (tfracpi4,1) e máximo (tfrac3pi4,-3).

Exercícios relacionados