Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que se determine o período, a paridade, o domínio, a imagem e que se descreva o gráfico restrito a um período completo. O conteúdo envolve propriedades da função tangente e transformações de gráficos (translações e dilatações).
Passo 2
Para achar o período de
, lembramos que
é
-periódica, ou seja
Aqui
. Procuramos o menor
tal que
logo
Portanto, o período de
é
.
Passo 3
Para testar a paridade, comparamos
com
.
Como isso não coincide nem com
nem com
, concluímos que
não é nem par nem ímpar.
Passo 4
A tangente está indefinida quando seu argumento é
. Portanto
Logo o domínio de
é
Passo 5
Como
varia por todo
, a composição
também varia por todo
. Assim, a imagem de
é
.
Passo 6
Para descrever o gráfico num período completo escolhemos o intervalo entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo
pois os valores proibidos (
) neste período são
e
. No interior desse intervalo temos:
- assíntota vertical em
com quando ; - assíntota vertical em
com quando ; - zero de
satisfazendo , ou seja , onde ; - valor em
, que é
O gráfico é o “S” típico da tangente, deslocado e esticado, indo de
a
entre as duas assíntotas.
Resposta
Período:
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio:
Imagem:
Gráfico num período completo (por exemplo em ): assíntotas verticais em
e
, passa por
e por
, com o formato clássico da tangente de
a
.
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio:
Imagem:
Gráfico num período completo (por exemplo em