Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o período, a paridade, o domínio, a imagem e o gráfico restrito a um período completo. Vamos usar propriedades de deslocamento e período da função cotangente, além de estudar seus assíntotas e monotonicidade.
Passo 2
A função base
tem período
. Como em
usamos
, um deslocamento horizontal não altera o período. Logo,
Passo 3
Para que
esteja definida, precisamos de
. Aqui
, logo
Portanto
Passo 4
Para testar paridade comparamos
a
e a
:
que não coincide nem com
nem com
. Portanto
não é par nem ímpar.
Passo 5
Como
atinge todos os valores reais em cada ramo entre duas assíntotas, somar 1 apenas desloca o gráfico na vertical sem limitar valores. Assim
Passo 6
Escolhemos um período completo entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo
Nesse intervalo temos:
- assíntote vertical em
e em ; - definimos
, e decresce de a ; - em particular, quando
(isto é, ), e
Passo 7
O gráfico em
é uma curva que parte de
ao se aproximar de
, decresce continuamente e cruza a reta
em
, seguindo até
quando
. As assíntotas são as retas
e
.
Resposta
Período:
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio:
Imagem:
Gráfico em um período (em ): curva monótona decrescente de
em
a
em
, cruzando
em
, com assíntotas verticais em
e
.
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio:
Imagem:
Gráfico em um período (em