Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=1+cot (x-pi3)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=1+cot!l(x-tfracpi3r)
determinarmos o período, a paridade, o domínio, a imagem e o gráfico restrito a um período completo. Vamos usar propriedades de deslocamento e período da função cotangente, além de estudar seus assíntotas e monotonicidade.

Passo 2

A função base cot(u) tem período pi. Como em f(x) usamos u=x-tfracpi3, um deslocamento horizontal não altera o período. Logo,
período de f=pi í

Passo 3

Para que cot(u) esteja definida, precisamos de sin(u)neq0. Aqui u=x-tfracpi3, logo
x-tfracpi3neq kpi Longrightarrow xneq tfracpi3+kpi, kinZ
Portanto
domínio=Rsetminusltfracpi3+kpimid kinZr í

Passo 4

Para testar paridade comparamos f(-x) a f(x) e a -f(x):
f(-x)=1+cot!l(-x-tfracpi3r) =1-cot!l(x+tfracpi3r),
que não coincide nem com f(x) nem com -f(x). Portanto f não é par nem ímpar.

Passo 5

Como cot(u) atinge todos os valores reais em cada ramo entre duas assíntotas, somar 1 apenas desloca o gráfico na vertical sem limitar valores. Assim
ima>=m=R

Passo 6

Escolhemos um período completo entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo
l(tfracpi3,,tfracpi3+pir) = l(tfracpi3,,tfrac4pi3r)
Nesse intervalo temos:
  1. assíntote vertical em x=tfracpi3 e em x=tfrac4pi3;
  2. definimos u=x-tfracpi3in(0,pi), e cot(u) decresce de +infty a -infty;
  3. em particular, quando u=tfracpi2 (isto é, x=tfracpi3+tfracpi2=tfrac5pi6), cot(u)=0 e
fl(tfrac5pi6r)=1+0=1

Passo 7

O gráfico em l(tfracpi3,,tfrac4pi3r) é uma curva que parte de +infty ao se aproximar de x=tfracpi3^+, decresce continuamente e cruza a reta y=1 em x=tfrac5pi6, seguindo até -infty quando xtotfrac4pi3^-. As assíntotas são as retas x=tfracpi3 e x=tfrac4pi3.

Resposta

Período: pi
Paridade: nem par nem ímpar
Domínio: Rsetminusltfracpi3+kpimid kinZr
Imagem: R
Gráfico em um período (em xin(tfracpi3,tfrac4pi3)): curva monótona decrescente de +infty em xtotfracpi3^+ a -infty em xtotfrac4pi3^-, cruzando y=1 em x=tfrac5pi6, com assíntotas verticais em x=tfracpi3 e x=tfrac4pi3.

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