Determine sua taxa de variação instantânea da função no ponto dado.
f(x)=raizx^2+1, x=1

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação instantânea de f(x)=raizx^2+1 no ponto x=1. Isso equivale a calcular a derivada f'(x) e depois avaliar em x=1. Vamos usar a regra da cadeia, pois f(x) é composta pela raiz quadrada de uma função interna u(x)=x^2+1.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da cadeia para obter f'(x). Como f(x)=raizu(x)=(u(x))^1/2, temos
f'(x)=12,(u(x))^-1/2cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x^2+1, sua derivada é
u'(x)=2x
Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x)=12,(x^2+1)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+1

Passo 4

Finalmente, avaliamos em x=1:
f'(1)=1raiz1^2+1=1raiz2

Resposta

f'(1)=1raiz2

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