Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=-1+2 cot (x-pi3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -1 + 2cot!l(x - tfracpi3r)
e pede para determinar o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboçar o gráfico restrito a um período completo. Vamos usar o fato de que a função cot t tem período pi, é ímpar e toma todos os valores reais, além de regras de transformações horizontais (translação) e verticais (escala e deslocamento).

Passo 2

Para achar o período, lembramos que cot t satisfaz cot(t+pi)=cot t. Aqui o argumento é t = x - tfracpi3, sem coeficiente de x além de 1, então o período de f é igual ao período de cot, ou seja
período(f) = pi í

Passo 3

Para verificar paridade, comparamos f(-x) com f(x) e -f(x). Temos
f(-x) = -1 + 2cot!l(-x - tfracpi3r) = -1 + 2l(-cot(x + tfracpi3)r) = -1 - 2cot!l(x + tfracpi3r),
que não coincide nem com f(x) nem com -f(x). Logo f não é nem par nem ímpar.

Passo 4

O domínio de cot t exclui t = kpi, kinZ. Aqui t = x - tfracpi3, logo devemos ter
x - tfracpi3 neq kpi Longrightarrow x neq tfracpi3 + kpi, kinZ

Passo 5

Como cot t varre todos os valores reais quando t varia em qualquer intervalo de comprimento pi, o fator 2 e o deslocamento -1 apenas escalam e transladam verticalmente a reta de valores. Portanto
ima>=m(f) = R

Passo 6

Para esboçar o gráfico num período completo, escolhemos o intervalo entre duas singularidades consecutivas, por exemplo
l(tfracpi3,,tfracpi3+pir) = l(tfracpi3,,tfrac4pi3r)
Nesse trecho há assíntotas verticais em x=tfracpi3 e em x=tfrac4pi3. Sobre esse intervalo o argumento x-tfracpi3 vai de 0^+ até pi^-, e cot decresce de +infty para -infty. Por isso f decresce de +infty para -infty, cruzando o ponto em que
x-tfracpi3 = tfracpi2 Longrightarrow x = tfracpi2 + tfracpi3 = tfrac5pi6,
onde
fl(tfrac5pi6r) = -1 + 2cot!l(tfracpi2r) = -1 + 2cdot 0 = -1
O esboço mostra, portanto, uma curva suave decrescente com assíntotas verticais em x=tfracpi3 e x=tfrac4pi3, passando por l(tfrac5pi6,-1r).

Resposta

Período: pi
Paridade: nenhuma (nem par nem ímpar)
Domínio: xinRmid xneqtfracpi3+kpi, kinZ
Imagem: R
Gráfico em um período l(tfracpi3,tfrac4pi3r): assíntotas verticais em x=tfracpi3 e em x=tfrac4pi3, curva decrescente de +infty a -infty passando por l(tfrac5pi6,-1r).

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