Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboçar o gráfico restrito a um período completo. Vamos usar o fato de que a função
tem período
, é ímpar e toma todos os valores reais, além de regras de transformações horizontais (translação) e verticais (escala e deslocamento).
Passo 2
Para achar o período, lembramos que
satisfaz
. Aqui o argumento é
, sem coeficiente de
além de 1, então o período de
é igual ao período de
, ou seja
Passo 3
Para verificar paridade, comparamos
com
e
. Temos
que não coincide nem com
nem com
. Logo
não é nem par nem ímpar.
Passo 4
O domínio de
exclui
,
. Aqui
, logo devemos ter
Passo 5
Como
varre todos os valores reais quando
varia em qualquer intervalo de comprimento
, o fator
e o deslocamento
apenas escalam e transladam verticalmente a reta de valores. Portanto
Passo 6
Para esboçar o gráfico num período completo, escolhemos o intervalo entre duas singularidades consecutivas, por exemplo
Nesse trecho há assíntotas verticais em
e em
. Sobre esse intervalo o argumento
vai de
até
, e
decresce de
para
. Por isso
decresce de
para
, cruzando o ponto em que
onde
O esboço mostra, portanto, uma curva suave decrescente com assíntotas verticais em
e
, passando por
.
Resposta
Período:
Paridade: nenhuma (nem par nem ímpar)
Domínio:
Imagem:
Gráfico em um período : assíntotas verticais em
e em
, curva decrescente de
a
passando por
.
Paridade: nenhuma (nem par nem ímpar)
Domínio:
Imagem:
Gráfico em um período