Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=-1+2 cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x) = -1 + 2cos(2x),
que a gente determine:
– o período,
– a paridade,
– a imagem (intervalo de valores),
– e o gráfico restrito a um período completo.
Conteúdo que vamos usar: período de cos(kx), paridade de funções compostas com cos, efeito de amplitude e deslocamento vertical sobre a imagem, e montagem do esboço gráfico em um intervalo de comprimento igual ao período.

Passo 2

Período. Se uma função básica g(x)=cos(x) tem período 2pi, então
cos(2x)
tem período
T = 2pi2 = pi
Como multiplicação por constante e soma com -1 não mudam o período, concluímos que
período de f = pi í

Passo 3

Paridade. A função cos(2x) é par porque cos é par ( cos(-u)=cos(u)). Multiplicar por 2 e somar -1 preservam essa simetria, então
f(-x) = -1 + 2cos(2(-x)) = -1 + 2cos(2x) = f(x)
Logo, f é uma função par.

Passo 4

Imagem. Sabemos que
cos(2x)in[-1,1]
Multiplicando por 2 gera o intervalo [-2,2] e somando -1 desloca para
[-2-1,;2-1] = [-3,1]
Portanto,
Im(f) = [-3,1]

Passo 5

Gráfico em um período completo. Tomamos o intervalo 0 <= x <= pi. Vamos marcar pontos-chave:
x&=0: &f(0)&=-1+2cos(0)=1, x&=tfracpi4: &fl(tfracpi4r)&=-1+2cosl(tfracpi2r)=-1, x&=tfracpi2: &fl(tfracpi2r)&=-1+2cos(pi)=-3, x&=tfrac3pi4: &fl(tfrac3pi4r)&=-1+2cosl(tfrac3pi2r)=-1, x&=pi: &f(pi)&=-1+2cos(2pi)=1
Entre esses pontos, o gráfico faz a curva típica de cosseno comprimido horizontalmente (período pi), com amplitude 2 e deslocado para baixo em 1.
Veja um esboço ASCII do traçado em 0<= x<=pi:
 f(x)
   (1) ---*------------*---
      / \          / \
   (0) *   \        /   *   <- eixo x
     \    \      /    /
  -(1)  \    *----*    /
       \  /      \  /
  -(3)    *          *
       0\pi/4\pi/2\3\pi/4\pi

Resposta

Período: pi.
Paridade: par.
Imagem: [-3,1].
Gráfico: esboço acima para 0<= x<=pi.

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