Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine:
– o período,
– a paridade,
– a imagem (intervalo de valores),
– e o gráfico restrito a um período completo.
– o período,
– a paridade,
– a imagem (intervalo de valores),
– e o gráfico restrito a um período completo.
Conteúdo que vamos usar: período de
, paridade de funções compostas com
, efeito de amplitude e deslocamento vertical sobre a imagem, e montagem do esboço gráfico em um intervalo de comprimento igual ao período.
Passo 2
Período. Se uma função básica
tem período
, então
tem período
Como multiplicação por constante e soma com
não mudam o período, concluímos que
Passo 3
Paridade. A função
é par porque
é par (
). Multiplicar por
e somar
preservam essa simetria, então
Logo,
é uma função par.
Passo 4
Imagem. Sabemos que
Multiplicando por
gera o intervalo
e somando
desloca para
Portanto,
Passo 5
Gráfico em um período completo. Tomamos o intervalo
. Vamos marcar pontos-chave:
Entre esses pontos, o gráfico faz a curva típica de cosseno comprimido horizontalmente (período
), com amplitude
e deslocado para baixo em
.
Veja um esboço ASCII do traçado em
:
f(x)
(1) ---*------------*---
/ \ / \
(0) * \ / * <- eixo x
\ \ / /
-(1) \ *----* /
\ / \ /
-(3) * *
0\pi/4\pi/2\3\pi/4\pi
Resposta
Período:
.
Paridade: par.
Imagem: .
Gráfico: esboço acima para .
Paridade: par.
Imagem:
Gráfico: esboço acima para