Determine o período, a paridade, a imagem e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=1+2 sin (x2-pi6)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1+2sinl(x2-pi6r)
e pede: período, paridade, imagem e o gráfico restrito a um período completo. O conteúdo aqui é análise de função trigonométrica (seno) com alongamento horizontal, translação de fase, amplitude e deslocamento vertical.

Passo 2

Para achar o período precisamos lembrar que, se temos sin(kx+varphi), o período em x é
T = 2pi|k|
No nosso caso o argumento do seno é
x2-pi6 = 12,x + l(-pi6r),
logo k=tfrac12 e
T = 2pitfrac12 = 4pi

Passo 3

Para verificar paridade comparamos f(-x) com f(x) e -f(x). Calculamos
f(-x)=1+2sinl(-tfracx2-tfracpi6r) =1+2l(-sin(tfracx2+tfracpi6)r) =1-2sinl(tfracx2+tfracpi6r)
Isso não coincide com f(x) nem com -f(x). Portanto f não é par nem ímpar.

Passo 4

A amplitude do seno é 2, e o deslocamento vertical é +1. Como sin varia em [-1,1], temos
f(x)min = 1+2cdot(-1) = -1, f(x)max = 1+2cdot1 = 3
Logo a imagem é
Im(f) = [-1,,3]

Passo 5

Vamos esboçar um período completo tomando o intervalo
xinl[pi3,;pi3+4pir]
No início do período x2-pi6=0 x=pi3, onde f=;1. Os pontos críticos são:
&x=pi3, f=1, &x=4pi3, x2-pi6=pi2;Rightarrow;f=3, &x=7pi3, x2-pi6=pi;Rightarrow;f=1, &x=10pi3, x2-pi6=tfrac3pi2;Rightarrow;f=-1, &x=13pi3=pi3+4pi, f=1
Em l[tfracpi3,tfrac13pi3r] traçamos uma senoide de amplitude 2, deslocada para cima de 1, com esses quatro pontos de marcação, ligando-os suavemente num “S” invertido, reproduzindo o ciclo completo de subida, descida e volta.

Resposta

Período: 4pi
Paridade: nem par nem ímpar
Imagem: [-1,3]
Gráfico em um período ( xin[tfracpi3,tfrac13pi3]) com pontos
(tfracpi3,1), (tfrac4pi3,3), (tfrac7pi3,1), (tfrac10pi3,-1), (tfrac13pi3,1) conectados por uma curva senoidal.

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