Determine o plano que contém a reta 1:lx=1+t y=2+2 t z=3+3 t é paralelo ao plano x-y +z=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
1: x=1+t, y=2+2t, z=3+3t
e pede o plano que contém essa reta e é paralelo ao plano
x - y + z = 0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar um plano paralelo a outro, usamos o mesmo vetor normal e impomos que ele passe por um ponto da reta.

Passo 2

Um plano paralelo a
x - y + z = 0
compartilha o mesmo vetor normal. Como a equação geral ax+by+cz+d=0 tem vetor normal (a,b,c), concluímos que o plano buscado tem vetor normal
n = (1,,-1,,1)

Passo 3

Para determinar completamente o plano, precisamos de um ponto por onde ele passa. Qualquer ponto da reta serve; escolhemos t=0, o que dá o ponto
P0 = (1,,2,,3)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano: se r=(x,y,z) é um ponto arbitrário e r0=P0, então
ncdot(r-r0)=0
Substituindo n=(1,-1,1) e r0=(1,2,3), obtemos
(1,-1,1)cdotl((x,y,z)-(1,2,3)r)=0

Passo 5

Desenvolvendo o produto escalar:
1,(x-1) ;-;1,(y-2);+;1,(z-3)=0
Rightarrow x-1 -y+2 +z-3 = 0
Rightarrow x - y + z -2 = 0

Resposta

A equação do plano é
x - y + z = 2

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