9.16 Resolva o sistema de equações vetoriais:
l v times(-i+2 j+k)=8 i+8 k v cdot(2 i+k)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor vinR^3 que satisfaz simultaneamente um produto vetorial
vtimes(-i+2j+k)=8i+8k
e um produto escalar
vcdot(2i+k)=2.

Passo 2

Escrevemos v em coordenadas como
v=x,i+y,j+z,k
Para o produto vetorial usamos a fórmula do determinante, obtendo
vtimes(-i+2j+k) = i&j&k x&y&z -1&2&1 =(y-2z),i-(x+z),j+(2x+y),k
Igualando a 8i+0,j+8k gera as três equações:
y-2z=8, -(x+z)=0, 2x+y=8

Passo 3

O produto escalar
vcdot(2i+k)=2
2x+z=2
Assim temos o sistema de quatro equações lineares em x,y,z:
y-2z=8, x+z=0, 2x+y=8, 2x+z=2

Passo 4

Da segunda equação x+z=0 segue z=-x. Substituindo em 2x+z=2 vem
2x - x =2Rightarrow x=2, z=-2
Em seguida, da primeira equação
y-2(-2)=8Rightarrow y+4=8Rightarrow y=4
Por fim, conferimos na terceira: 2cdot2+4=8, que está OK.

Resposta

v=2,i+4,j-2,k

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