(2,0 pts) Determine os valores máximo e mínimo da função f(x, y, z)=x y z sujeita à restrição 4 x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=24.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x y z sujeitos à restrição \,4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24\,.
Informações dadas:
Função objetivo: f(x,y,z)=x y z.
Restrição (uma superfície fechada tipo elipsoide): \,4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24\,.
Quer-se o(s) valor(es) máximo(s) e mínimo(s) de f quando (x,y,z) satisfaz a restrição.
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática do método que vou usar).
Quando há uma função de várias variáveis com uma restrição dada por uma equação, um método padrão e eficiente é o dos multiplicadores de Lagrange. Ele nos dá condições necessárias para extremos sob restrição.
A ideia essencial (aula rápida): seja g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+2z^{2}-24. Pontos candidatos a extremos sujeitos à restrição g=0 satisfazem
\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)
para algum escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange), juntamente com a própria restrição g(x,y,z)=0. Aqui \nabla f é o vetor dos derivadas parciais de f e \nabla g o vetor das derivadas parciais de g.
O raciocínio: na restrição, movimentos admissíveis ficam tangentes à superfície g=0; no extremo, a derivada direcional de f em qualquer direção tangente é zero, o que implica que \nabla f é perpendicular à superfície, ou seja, paralelo a \nabla g, daí a relação acima.
Vou aplicar essa condição, resolver o sistema resultante e comparar os valores de f nos pontos candidatos. Também preciso considerar casos em que alguma coordenada seja zero (pois ao dividir por uma variável pode perder soluções).
Passo 3
Calcular gradientes e escrever as equações de Lagrange.
Defino g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+2z^{2}-24.
Calculo derivadas parciais:
\nabla f=(f_x,f_y,f_z)=(yz,\,xz,\,xy),
\nabla g=(g_x,g_y,g_z)=(8x,\,2y,\,4z).
Condição de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g dá o sistema
Analisar o caso em que alguma coordenada é zero (verificação separada).
Se x=0, a restrição vira y^{2}+2z^{2}=24 e f=xyz=0. Assim há pontos sobre a elipsoide com valor f=0.
Se y=0, a restrição vira 4x^{2}+2z^{2}=24 e f=0.
Se z=0, a restrição vira 4x^{2}+y^{2}=24 e f=0.
Conclusão parcial: f=0 é atingido (em muitos pontos), mas ainda precisamos verificar se existem extremos com valores maiores ou menores que 0. Por teorema (restrição é conjunto compacto e f contínua), existem máximo e mínimo globais; eles podem ocorrer em pontos com todas as coordenadas não nulas, por isso seguimos para o caso geral.
Passo 5
Resolver o caso geral: x, y, z diferentes de zero.
Supondo x\neq0, y\neq0, z\neq0, podemos manipular as equações de Lagrange dividindo-as entre si para eliminar \lambda.
Dividindo a primeira equação pela segunda (assumindo z\neq0):
e as outras duas expressões dão o mesmo \lambda. Assim é solução válida. Testes semelhantes mostram que todas as combinações de sinais são soluções válidas (com \lambda=\pm \tfrac{1}{2} conforme o padrão de sinais).
Os pontos com alguma coordenada zero (onde f=0) não superam em valor absoluto \pm 8, então não são candidatos globais.
Passo 8
Conclusão: comparar os candidatos.
Temos pontos com f=8, pontos com f=-8 e muitos pontos com f=0.
Como a restrição é compacta e f contínua, esses são os extremos globais: o máximo global é 8 e o mínimo global é -8.
Resposta
Máximo: 8, atingido nos pontos (\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,2),\;(\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,-2),\;(-\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,-2),\;(-\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,2).
Mínimo: -8, atingido nos pontos (\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,-2),\;(\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,2),\;(-\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,2),\;(-\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,-2).