(2,0 pts) Determine os valores máximo e mínimo da função f(x, y, z)=x y z sujeita à restrição 4 x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=24.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z)=x y z sujeitos à restrição \,4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24\,.
Informações dadas:
  • Função objetivo: f(x,y,z)=x y z.
  • Restrição (uma superfície fechada tipo elipsoide): \,4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24\,.
  • Quer-se o(s) valor(es) máximo(s) e mínimo(s) de f quando (x,y,z) satisfaz a restrição.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática do método que vou usar).
  • Quando há uma função de várias variáveis com uma restrição dada por uma equação, um método padrão e eficiente é o dos multiplicadores de Lagrange. Ele nos dá condições necessárias para extremos sob restrição.
  • A ideia essencial (aula rápida): seja g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+2z^{2}-24. Pontos candidatos a extremos sujeitos à restrição g=0 satisfazem
\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z)
para algum escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange), juntamente com a própria restrição g(x,y,z)=0. Aqui \nabla f é o vetor dos derivadas parciais de f e \nabla g o vetor das derivadas parciais de g.
  • O raciocínio: na restrição, movimentos admissíveis ficam tangentes à superfície g=0; no extremo, a derivada direcional de f em qualquer direção tangente é zero, o que implica que \nabla f é perpendicular à superfície, ou seja, paralelo a \nabla g, daí a relação acima.
  • Vou aplicar essa condição, resolver o sistema resultante e comparar os valores de f nos pontos candidatos. Também preciso considerar casos em que alguma coordenada seja zero (pois ao dividir por uma variável pode perder soluções).

Passo 3

Calcular gradientes e escrever as equações de Lagrange.
  • Defino g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+2z^{2}-24.
  • Calculo derivadas parciais:
\nabla f=(f_x,f_y,f_z)=(yz,\,xz,\,xy),
\nabla g=(g_x,g_y,g_z)=(8x,\,2y,\,4z).
  • Condição de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g dá o sistema
\begin{cases} yz = 8\lambda x,\\[4pt] xz = 2\lambda y,\\[4pt] xy = 4\lambda z, \end{cases}
junto com a restrição
4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24.]

Passo 4

Analisar o caso em que alguma coordenada é zero (verificação separada).
  • Se x=0, a restrição vira y^{2}+2z^{2}=24 e f=xyz=0. Assim há pontos sobre a elipsoide com valor f=0.
  • Se y=0, a restrição vira 4x^{2}+2z^{2}=24 e f=0.
  • Se z=0, a restrição vira 4x^{2}+y^{2}=24 e f=0.
  • Conclusão parcial: f=0 é atingido (em muitos pontos), mas ainda precisamos verificar se existem extremos com valores maiores ou menores que 0. Por teorema (restrição é conjunto compacto e f contínua), existem máximo e mínimo globais; eles podem ocorrer em pontos com todas as coordenadas não nulas, por isso seguimos para o caso geral.

Passo 5

Resolver o caso geral: x, y, z diferentes de zero.
  • Supondo x\neq0, y\neq0, z\neq0, podemos manipular as equações de Lagrange dividindo-as entre si para eliminar \lambda.
  • Dividindo a primeira equação pela segunda (assumindo z\neq0):
\frac{yz}{xz}=\frac{8\lambda x}{2\lambda y} \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{8x}{2y} \quad\Rightarrow\quad y^{2}=4x^{2}.
Logo
y=\pm 2x.
  • Dividindo a segunda pela terceira:
\frac{xz}{xy}=\frac{2\lambda y}{4\lambda z} \quad\Rightarrow\quad \frac{z}{y}=\frac{2y}{4z} \quad\Rightarrow\quad 2z^{2}=y^{2}.
Logo
y^{2}=2z^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm \sqrt{2}\,z.
  • Combinando y^{2}=4x^{2} e y^{2}=2z^{2} obtemos:
x^{2}=\frac{y^{2}}{4},\qquad z^{2}=\frac{y^{2}}{2}.
  • Substituindo essas expressões na restrição 4x^{2}+y^{2}+2z^{2}=24:
4\cdot\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}+y^{2}+y^{2}=3y^{2}=24.
Assim
y^{2}=8\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2\sqrt{2}.
  • Então
x^{2}=\frac{y^{2}}{4}=\frac{8}{4}=2\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2},
z^{2}=\frac{y^{2}}{2}=\frac{8}{2}=4\quad\Rightarrow\quad z=\pm 2.

Passo 6

Determinar os sinais e os valores de f nesses pontos.
  • Os valores absolutos das coordenadas são fixos: |x|=\sqrt{2}, |y|=2\sqrt{2}, |z|=2.
  • Existem 2^{3}=8 combinações de sinais (\pm\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2},\pm 2). Para cada combinação calculamos f(x,y,z)=xyz.
  • O valor absoluto do produto é
|xyz|=|x|\cdot|y|\cdot|z|=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2=8.
  • Portanto, para essas oito pontos f vale +8 ou -8, dependendo do produto dos sinais. Em particular:
    • Se x y z>0 (produto dos sinais positivo) então f=8.
    • Se x y z<0 (produto dos sinais negativo) então f=-8.

Passo 7

Verificar consistência com as equações de Lagrange (checagem rápida).
  • Tomando, por exemplo, (x,y,z)=(\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,2), calculo \lambda pelas equações:
\lambda=\frac{yz}{8x}=\frac{(2\sqrt{2})\cdot 2}{8\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}=\tfrac{1}{2},
e as outras duas expressões dão o mesmo \lambda. Assim é solução válida. Testes semelhantes mostram que todas as combinações de sinais são soluções válidas (com \lambda=\pm \tfrac{1}{2} conforme o padrão de sinais).
  • Os pontos com alguma coordenada zero (onde f=0) não superam em valor absoluto \pm 8, então não são candidatos globais.

Passo 8

Conclusão: comparar os candidatos.
  • Temos pontos com f=8, pontos com f=-8 e muitos pontos com f=0.
  • Como a restrição é compacta e f contínua, esses são os extremos globais: o máximo global é 8 e o mínimo global é -8.

Resposta

Máximo: 8, atingido nos pontos (\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,2),\;(\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,-2),\;(-\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,-2),\;(-\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,2).
Mínimo: -8, atingido nos pontos (\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,-2),\;(\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,2),\;(-\sqrt{2},\,2\sqrt{2},\,2),\;(-\sqrt{2},\,-2\sqrt{2},\,-2).

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