Determine o plano que seja paralelo ao plano z=2 x+3 y e tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2+x y.
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f(x, y)=x^2+y^2 e que contenham a interseção dos planos x+y+z=3 e z=0

Passo 1

O enunciado traz dois problemas envolvendo planos tangentes aos gráficos de funções de duas variáveis. Vamos usar que, para uma função f(x,y), o plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) é dado por
z - f(a,b) = fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)
Precisaremos também do vetor normal ao plano Ax+By+Cz+D=0, que é (A,B,C), e da condição de paralelismo entre dois planos em termos de normal.

Passo 2

Para o primeiro problema, temos o plano referência z=2x+3y, que reescrevemos como
2x + 3y - z = 0
cujo vetor normal é n=(2,3,-1). No gráfico de f(x,y)=x^2+xy temos
fx(x,y)=2x+y,
fy(x,y)=x
O plano tangente em (a,b) terá normal (fx(a,b),fy(a,b),-1). Para ser paralelo a (2,3,-1), esses vetores devem ser proporcionais.

Passo 3

Da proporcionalidade
(fx(a,b),fy(a,b),-1)=lambda(2,3,-1)
usamos a componente -1=-lambda para achar lambda=1. Logo
fx(a,b)=2,
fy(a,b)=3
Substituindo na expressão do gradiente:
2a+b=2,
a=3
Da segunda equação vem a=3, e daí b=2-2a=2-6=-4. O ponto de tangência é (3,-4,f(3,-4))=(3,-4,-3).

Passo 4

Escrevendo o plano tangente em (3,-4,-3):
z - (-3)=2(x-3)+3(y+4)
Expandindo:
z+3 = 2x -6 + 3y +12 = 2x + 3y +6
z = 2x + 3y +3

Passo 5

Para o segundo problema, o gráfico é z=x^2+y^2 e o plano tangente em (a,b,a^2+b^2) satisfaz
z - (a^2+b^2) = 2a(x-a) + 2b(y-b)
Queremos que esse plano contenha toda a interseção dos planos
x+y+z=3
e
z=0,
o que implica z=0 e x+y=3. Assim, para todo (x,y) com x+y=3 devemos ter
0 - (a^2+b^2) = 2a(x-a) + 2b(y-b)
Simplificando, chega-se a
2a x + 2b y = a^2 + b^2
e essa igualdade tem de valer para todo (x,y) com x+y=3.

Passo 6

Como x+y=3 varia em infinito, o coeficiente de x deve ser nulo: 2a-2b=0 a=b. Substituindo em 2a( x+y)=a^2+b^2 leva a 6b=2b^2, ou seja b=0 ou b=3. Assim os pontos de tangência são (0,0,0) e (3,3,18).

Passo 7

Finalmente, montamos os planos tangentes:
Para (0,0,0), fx=fy=0, então o plano é
z=0
Para (3,3,18), (fx,fy)=(6,6)), temos
z-18 = 6(x-3) + 6(y-3)
z = 6x + 6y - 18

Resposta

Primeiro plano: z = 2x + 3y + 3
Segundos planos: z = 0 e z = 6x + 6y - 18

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