Determine o plano que seja paralelo ao plano
e tangente ao gráfico de
.
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de
e que contenham a interseção dos planos
e
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de
Passo 1
O enunciado traz dois problemas envolvendo planos tangentes aos gráficos de funções de duas variáveis. Vamos usar que, para uma função
, o plano tangente no ponto
é dado por
Precisaremos também do vetor normal ao plano
, que é
, e da condição de paralelismo entre dois planos em termos de normal.
Passo 2
Para o primeiro problema, temos o plano referência
, que reescrevemos como
cujo vetor normal é
. No gráfico de
temos
O plano tangente em
terá normal
. Para ser paralelo a
, esses vetores devem ser proporcionais.
Passo 3
Da proporcionalidade
usamos a componente
para achar
. Logo
Substituindo na expressão do gradiente:
Da segunda equação vem
, e daí
. O ponto de tangência é
.
Passo 4
Escrevendo o plano tangente em
:
Expandindo:
Passo 5
Para o segundo problema, o gráfico é
e o plano tangente em
satisfaz
Queremos que esse plano contenha toda a interseção dos planos
e
o que implica
e
. Assim, para todo
com
devemos ter
Simplificando, chega-se a
e essa igualdade tem de valer para todo
com
.
Passo 6
Como
varia em infinito, o coeficiente de
deve ser nulo:
dá
. Substituindo em
leva a
, ou seja
ou
. Assim os pontos de tangência são
e
.
Passo 7
Finalmente, montamos os planos tangentes:
Para ,
, então o plano é
Para
Para
,
, temos
Resposta
Primeiro plano: z = 2x + 3y + 3
Segundos planos: z = 0 e z = 6x + 6y - 18