Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral tripla que envolve limites dependentes de e expressões como . Isso sugere que estamos lidando com a geometria de uma esfera. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando estamos lidando com esferas ou partes dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, cada ponto no espaço é definido por três parâmetros:
: a distância do ponto até a origem.
: o ângulo no plano a partir do eixo .
: o ângulo do ponto em relação ao eixo .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos converter nossa integral tripla para coordenadas esféricas. Observando o limite superior 0 <= rho <= a, 0 <= phi <= pi2, 0 <= theta <= 2pi , percebemos que isso implica que integral0^2pi integral0^pi2 integral0^a 1raiza^2 - rho^2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta . Portanto, nossos limites serão:
A integral original se transforma em:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, integramos em relação a integral0^a rho^2raiza^2 - rho^2 , drho :
Fazendo a substituição , , ajustamos os limites e resolvemos a integral. O resultado dessa integral é .
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a integral0^pi2 sinphi , dphi = 1 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
E por último, integramos em relação a :
Resposta
Multiplicando todos os resultados, a integral vale: