integral triplaV d x d y d z, onde V é a interseção das superfícies x^2+y^2 <= 1, x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0.

Passo 1

Vamos calcular o volume da região V definida por x²+y²≤1, x²+y²+z²≤4 e z≥0; o conteúdo é cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas, em que faremos a substituição x=r
cosθ, y=r
sinθ e z=z, e usaremos o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos dV=r
dr

dz. A região V em (r,θ,z) fica com θ de 0 até 2π, r de 0 até 1 (pois x²+y²≤1) e, para cada r, z vai de 0 até √(4−r²) (pela esfera de raio 2 e z≥0).

Passo 3

A integral de volume vira
integralθ=0^2πintegralr=0^1integralz=0^raiz4-r^2r,dz,dr,dθ
Primeiro integramos em z: integral0^raiz4-r^2dz=raiz4-r^2. Ficamos com
integral0^2πdθintegral0^1rraiz4-r^2,dr

Passo 4

Chamemos
I=integral0^1rraiz4-r^2,dr
Fazendo a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr, temos
I=integralu=4^3raizu,l(-tfrac12dur)=tfrac12integral3^4u^1/2du=tfrac12cdottfrac23l(u^3/2r)|3^4=tfrac13(8-3raiz3)

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por :
V=2π,I=2πcdottfrac13(8-3raiz3)=tfrac16π3-2πraiz3

Resposta

\frac{16π}{3}-2π\sqrt3

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