Seja P2(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x, y)=x sen y em volta de (0,0). Mostre que
|f(x, y)-P2(x, y)|<|y|^22[|x|+13|y|]
para todo (x, y), com|x|<1.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x,y)=x sin y em (0,0) e, com a forma de resto de Lagrange em multivariáveis, mostrar a desigualdade dada. Vamos usar conteúdo de séries de Taylor em duas variáveis e a forma de resto de Lagrange.

Passo 2

Calcular f e todas as derivadas parciais necessárias até a segunda ordem em (0,0). Temos
f(x,y)=xsin y
No ponto (0,0):
– f(0,0)=0;
– f_x=\sin y, logo f_x(0,0)=0;
– f_y=x\cos y, logo f_y(0,0)=0;
– f_{xx}=0, f_{xy}=\cos y, logo f_{xy}(0,0)=1;
– f_{yy}=-x\sin y, logo f_{yy}(0,0)=0.
Assim, o polinômio de Taylor de ordem 2 é
P2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y+tfrac12fxx(0,0)x^2+fxy(0,0)xy+tfrac12fyy(0,0)y^2=xy

Passo 3

Aplicar a forma de resto de Lagrange para Taylor de ordem 2 em duas variáveis. O resto R_2 em (x,y) pode ser escrito (com alguns ζ=(ζ_x,ζ_y) no segmento de (0,0) a (x,y)) como
$$R_2(x,y)=\sum_{i+j=3}\frac{1}{i!,j!},f_{x^i yj}(ζ);xi y^j.
$$
Aqui só há termos (i,j)=(1,2) e (0,3).

Passo 4

Calcular as derivadas de terceira ordem que aparecem:
– f_{xyy}(x,y)=\frac{\partial^3f}{\partial x\partial y^2}=-\sin y,
– f_{yyy}(x,y)=\frac{\partial^3f}{\partial y^3}=-x\cos y.
Logo
R2(x,y)=11!2!fxyy(ζ),x y^2+10!3!fyyy(ζ),y^3=12(-sin ζy) x y^2+16(-ζxcos ζy)y^3

Passo 5

Fazer as estimativas usando |x|<1 e |sin t|≤1, |cos t|≤1 e |ζ_x|≤|x|<1. Então
|R2(x,y)|<=12|x|,|y|^2+16|y|^3 =|y|^22l(|x|+|y|3r)

Passo 6

Concluímos que para todo (x,y) com |x|<1 vale
|f(x,y)-P2(x,y)|=|R2(x,y)|<|y|^22l(|x|+13|y|r)

Resposta

|f(x,y)-P_{2}(x,y)|<\frac{|y|^{2}}{2}\bigl(|x|+\tfrac13|y|\bigr)

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