Determine o plano que seja paralelo ao plano 2 x+3 y-z=0 e tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^2+x y.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um plano que seja paralelo ao plano 2x + 3y - z = 0 e que toque o gráfico da função f(x, y) = x^2 + xy em apenas um ponto, ou seja, que seja tangente a ele. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como planos paralelos e condições de tangência entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano dado 2x + 3y - z = 0 é n = (2, 3, -1). Portanto, o plano que estamos buscando também terá o vetor normal n = (2, 3, -1), e sua equação geral será:
2x + 3y - z + D = 0
onde D é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Para que esse plano seja tangente ao gráfico da função f(x, y) = x^2 + xy, deve existir exatamente um ponto (x0, y0, z0) onde o plano toca o gráfico. Nesse ponto de tangência, as derivadas parciais de f devem estar relacionadas aos coeficientes do plano.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y:
partial fpartial x = 2x + y
partial fpartial y = x
No ponto de tangência (x0, y0, z0), essas derivadas devem ser proporcionais aos coeficientes do vetor normal do plano, ou seja:
2x0 + y0 = 2 e x0 = 3

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
x0 = 3
2(3) + y0 = 2 implies 6 + y0 = 2 implies y0 = -4
Portanto, o ponto de tangência é (3, -4, z0).

Passo 6

Calculamos z0 substituindo x0 e y0 na função f:
z0 = f(3, -4) = 3^2 + 3(-4) = 9 - 12 = -3
Então, o ponto de tangência é (3, -4, -3).

Passo 7

Agora, usamos esse ponto para encontrar o valor de D na equação do plano:
2(3) + 3(-4) - (-3) + D = 0 implies 6 - 12 + 3 + D = 0 implies -3 + D = 0 implies D = 3

Resposta

O plano que é paralelo a 2x + 3y - z = 0 e tangente ao gráfico de f(x, y) = x^2 + xy é:
2x + 3y - z + 3 = 0

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