Determine o plano que seja paralelo ao plano
e tangente ao gráfico da função
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um plano que seja paralelo ao plano
e que toque o gráfico da função
em apenas um ponto, ou seja, que seja tangente a ele. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como planos paralelos e condições de tangência entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano dado
é
. Portanto, o plano que estamos buscando também terá o vetor normal
, e sua equação geral será:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Para que esse plano seja tangente ao gráfico da função
, deve existir exatamente um ponto
onde o plano toca o gráfico. Nesse ponto de tangência, as derivadas parciais de
devem estar relacionadas aos coeficientes do plano.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto de tangência
, essas derivadas devem ser proporcionais aos coeficientes do vetor normal do plano, ou seja:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Calculamos
substituindo
e
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora, usamos esse ponto para encontrar o valor de
na equação do plano:
Resposta
O plano que é paralelo a
e tangente ao gráfico de
é: