Sugestão: Verifique que a função w(x, t)=A x tL satisfaz as condições de fronteira e que L(w):=wt-c^2 wx x=A xL. Em seguida procure uma função h(x) dependendo só de x e satisfazendo L(h)=-A xL. Pondo v(x, t)=u(x, t)-w(x, t)-h(x), resolva o problema correspondente para v(x, t). Finalmente, obtenha u(x, t) como u=v+w+h.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da difusão (equação de calor) ut = c^2 uxx em 00 com condições de fronteira não homogêneas u(0,t)=0, u(L,t)=At e condição inicial u(x,0)=0. Vamos usar o método de superposição: construir uma solução particular que satisfaça as fronteiras, depois reduzir a um problema homogêneo e resolvê-lo por série de Fourier.
Passo 2
Procuramos primeiro uma solução particular da forma w(x,t)=AxtL, pois ela satisfaz w(0,t)=0 e w(L,t)=At. Calculando o operador L(w)=wt - c^2 wxx obtemos
L(w)=AxL
Passo 3
Em seguida buscamos h(x) só em função de x tal que
L(h)=-AxL,ou seja -c^2h''(x)=-AxL
Passo 4
Integrando duas vezes e impondo h(0)=0 e h(L)=0 (para homogeneizar as fronteiras de v), obtemos
h(x)=Ax^36c^2L-ALx6c^2
Passo 5
Definimos então v(x,t)=u(x,t)-w(x,t)-h(x). Substituindo na PDE, vemos que v satisfaz
vt=c^2vxx, v(0,t)=0, v(L,t)=0, v(x,0)=-h(x)
Passo 6
Resolvemos esse problema homogêneo por separação de variáveis em série de senos:
v(x,t)=sumn=1^inftyBnsinl(npi xLr)e^-c^2(npiL)^2t, com os coeficientes dados por
Passo 7
Finalmente, montamos a solução completa somando todas as partes: