Resolva o problema
l ut=c^2 ux x u(0, t)=0, u(L, t)=A t u(x, 0)=0
Sugestão: Verifique que a função w(x, t)=A x tL satisfaz as condições de fronteira e que L(w):=wt- c^2 wx x=A xL. Em seguida procure uma função h(x) dependendo só de x e satisfazendo L(h)=-A xL. Pondo v(x, t)=u(x, t)-w(x, t)-h(x), resolva o problema correspondente para v(x, t). Finalmente, obtenha u(x, t) como u=v+w+h.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da difusão (equação de calor) ut = c^2 uxx em 00 com condições de fronteira não homogêneas u(0,t)=0, u(L,t)=At e condição inicial u(x,0)=0. Vamos usar o método de superposição: construir uma solução particular que satisfaça as fronteiras, depois reduzir a um problema homogêneo e resolvê-lo por série de Fourier.

Passo 2

Procuramos primeiro uma solução particular da forma w(x,t)=AxtL, pois ela satisfaz w(0,t)=0 e w(L,t)=At. Calculando o operador L(w)=wt - c^2 wxx obtemos
L(w)=AxL

Passo 3

Em seguida buscamos h(x) só em função de x tal que
L(h)=-AxL,ou seja -c^2h''(x)=-AxL

Passo 4

Integrando duas vezes e impondo h(0)=0 e h(L)=0 (para homogeneizar as fronteiras de v), obtemos
h(x)=Ax^36c^2L-ALx6c^2

Passo 5

Definimos então v(x,t)=u(x,t)-w(x,t)-h(x). Substituindo na PDE, vemos que v satisfaz
vt=c^2vxx, v(0,t)=0, v(L,t)=0, v(x,0)=-h(x)

Passo 6

Resolvemos esse problema homogêneo por separação de variáveis em série de senos:
v(x,t)=sumn=1^inftyBnsinl(npi xLr)e^-c^2(npiL)^2t, com os coeficientes dados por

Passo 7

Finalmente, montamos a solução completa somando todas as partes:
u(x,t)=w(x,t)+h(x)+v(x,t)

Resposta

[u(x,t)=\frac{Axt}{L}+\Bigl(\frac{Ax3}{6c2L}-\frac{ALx}{6c^2}\Bigr)-\frac{2A L2}{c2\pi3}\sum_{n=1}\infty\frac{(-1)n}{n3}\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)e{-c2(\frac{n\pi}{L})^2t}.]

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