Resolva o problema não homogêneo:
l ut=ux x+gamma u(0, t)=alpha, u(L, t)=beta u(x, 0)=-gamma2 x^2+beta-alphaL x+alpha
Sugestão: Procurar primeiro a temperatura de regime estacionário, isto é, a função w(x) dependendo apenas de x, que satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira (isto é, a temperatura de regime estacionário correspondendo às condições de fronteira dadas). Em seguida, pondo v=u-w, resolva o problema correspondente para v(x, t). Finalmente, obtenha u como u=v+w.

Passo 1

Vamos estudar a equação de calor não homogênea ut = uxx + gamma em 0, com condições de Dirichlet u(0,t)=alpha, u(L,t)=beta e condição inicial u(x,0)=-tfracgamma2x^2+tfracbeta-alphaLx+alpha. O conteúdo envolve resolver primeiro o regime estacionário e depois tratar a parte transitória.

Passo 2

Procuramos a solução estacionária w(x) que satisfaz w''(x)+gamma=0 e w(0)=alpha, w(L)=beta. Integrando duas vezes obtemos
w(x)=-gamma2x^2+C1x+C2
Usamos as condições de contorno: w(0)=C2=alpha e w(L)=-tfracgamma2L^2+C1L+alpha=beta, de onde
C1=beta-alpha+tfracgamma2L^2L=beta-alphaL+gamma L2

Passo 3

Logo
w(x)=-gamma2x^2+l(beta-alphaL+gamma L2r)x+alpha

Passo 4

Definimos v(x,t)=u(x,t)-w(x). Então v satisfaz
vt=vxx, v(0,t)=0, v(L,t)=0,
com condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-w(x)=-gamma2x^2+beta-alphaLx+alpha-l(-gamma2x^2+l(tfracbeta-alphaL+tfracgamma L2r)x+alphar)=-gamma L2,x

Passo 5

Expandimos v(x,0)=-tfracgamma L2x em senos:
v(x,0)=sumn=1^infty Bnsinl(npi xLr), Bn=2Lintegral0^Ll(-gamma L2xr)sinl(npi xLr)dx

Passo 6

Calculando a integral
integral0^L xsinl(npi xLr)dx=-L^2(-1)^nnpi,

Passo 7

obtemos
Bn=-gammaintegral0^L xsinl(npi xLr)dx=gamma L^2(-1)^nnpi

Passo 8

Assim a parte transitória é
v(x,t)=sumn=1^inftygamma L^2(-1)^nnpie^-n^2pi^2L^2tsinl(npi xLr)

Passo 9

Finalmente, voltamos a u=v+w para obter a solução completa.

Resposta

u(x,t)=-gamma2x^2+l(beta-alphaL+gamma L2r)x+alpha+sumn=1^inftygamma L^2(-1)^nnpie^-n^2pi^2L^2tsinl(npi xLr)

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