Sugestão: Procurar primeiro a temperatura de regime estacionário, isto é, a função w(x) dependendo apenas de x, que satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira (isto é, a temperatura de regime estacionário correspondendo às condições de fronteira dadas). Em seguida, pondo v=u-w, resolva o problema correspondente para v(x, t). Finalmente, obtenha u como u=v+w.
Passo 1
Vamos estudar a equação de calor não homogênea ut = uxx + gamma em 0, com condições de Dirichlet u(0,t)=alpha, u(L,t)=beta e condição inicial u(x,0)=-tfracgamma2x^2+tfracbeta-alphaLx+alpha. O conteúdo envolve resolver primeiro o regime estacionário e depois tratar a parte transitória.
Passo 2
Procuramos a solução estacionária w(x) que satisfaz w''(x)+gamma=0 e w(0)=alpha, w(L)=beta. Integrando duas vezes obtemos
w(x)=-gamma2x^2+C1x+C2
Usamos as condições de contorno: w(0)=C2=alpha e w(L)=-tfracgamma2L^2+C1L+alpha=beta, de onde C1=beta-alpha+tfracgamma2L^2L=beta-alphaL+gamma L2
Passo 3
Logo
w(x)=-gamma2x^2+l(beta-alphaL+gamma L2r)x+alpha
Passo 4
Definimos v(x,t)=u(x,t)-w(x). Então v satisfaz
vt=vxx, v(0,t)=0, v(L,t)=0,
com condição inicial v(x,0)=u(x,0)-w(x)=-gamma2x^2+beta-alphaLx+alpha-l(-gamma2x^2+l(tfracbeta-alphaL+tfracgamma L2r)x+alphar)=-gamma L2,x