Determine o plano tangente aos gráfico da função f no ponto p indicado nos casos:
f(x, y)=-x^2-y^2+x y^3 em p=(1,-2)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de fcolonR^2toR definido por
f(x,y) = -x^2 - y^2 + x,y^3
no ponto p=(1,-2). Para isso, vamos usar a fórmula do plano tangente
z = f(a,b) + fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b),
onde (a,b) = (1,-2) e fx, fy são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f em (1,-2):
f(1,-2) = -1^2 - (-2)^2 + 1cdot(-2)^3 = -1 - 4 - 8 = -13

Passo 3

Determinamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y) = partialpartial xl(-x^2 - y^2 + x,y^3r) = -2x + y^3,
fy(x,y) = partialpartial yl(-x^2 - y^2 + x,y^3r) = -2y + 3,x,y^2

Passo 4

Avaliando em (1,-2):
fx(1,-2) = -2cdot1 + (-2)^3 = -2 - 8 = -10,
fy(1,-2) = -2cdot(-2) + 3cdot1cdot(-2)^2 = 4 + 12 = 16

Passo 5

Substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(1,-2) + fx(1,-2),(x-1) + fy(1,-2),(y+2) = -13 - 10,(x-1) + 16,(y+2)

Passo 6

Expandindo e organizando em função de x e y:
z = -13 -10x +10 +16y +32 = -10x +16y +29

Resposta

boxedz = -10x + 16y + 29

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