Ex. 5. Verifique que lim (x, y) longrightarrow(0,0) f(x, y) existe quando.
f(x, y)=e^x+e^ycos x+sen y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe, onde
f(x,y)=e^x+e^ycos x+sin y
O conteúdo envolve limites em duas variáveis e continuidade de funções compostas, verificando que o denominador não zera perto de (0,0).

Passo 2

Mostramos que o denominador nunca se anula em torno de (0,0). Como cos x e sin y são contínuas, vale
lim(x,y)to(0,0)(cos x+sin y)=cos0+sin0=1.
Logo, existe um de<a>0 tal que, para raizx^2+y^2<de<a,
|cos x+sin y|>tfrac12,
garantindo que o denominador é diferente de zero nessa vizinhança.

Passo 3

Como e^x, e^y, cos x e sin y são contínuas, e o denominador é não nulo para (x,y) suficientemente próximo de (0,0), a função f é contínua nesse ponto. Portanto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =f(0,0) =e^0+e^0cos0+sin0 =1+11+0 =2

Resposta

2

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