Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto
da superfície dada:
- Determinar o plano tangente à superfície
em . - Determinar a reta normal à superfície em
.
Informações fornecidas:
Nada mais é pedido além de plano tangente e reta normal em
.
Passo 2
Transformar a superfície numa função de nível para usar uma fórmula padrão. Defino a função
A superfície é o conjunto de pontos onde
. Uma propriedade muito útil é que o vetor gradiente de
,
, é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto do nível
. Vou usar isso — é a ideia chave.
Explicando isso rapidinho: o gradiente
aponta na direção de maior crescimento de
, e em uma superfície de nível
constante ele é ortogonal ao nível porque deslocamentos tangenciais não mudam
(derivada direcional nula).
Passo 3
Calcular explicitamente o gradiente de
. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Calculando cada derivada:
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituo
,
,
:
pois
.
Interpretação:
é um vetor normal à superfície em
. Esse vetor me serve tanto para montar o plano tangente quanto a reta normal.
Passo 5
Montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente a uma superfície de nível
em
é
Substituindo
e
:
Fazendo o produto escalar:
logo
Se quiser, isolando
:
Passo 6
Montar a reta normal. A reta normal passa por
e tem direção dada pelo vetor normal
. A forma paramétrica da reta é
Escrevendo coordenada a coordenada:
Observação prática: como
é sempre
nessa reta, a normal sobe/ desce variando só
e
conforme o parâmetro
.
Passo 7
Checagem rápida (mental): o vetor normal
realmente é ortogonal a qualquer vetor tangente do plano porque satisfaz a equação do plano com produto escalar zero, e o ponto
satisfaz a equação da superfície original (verifique:
). Tudo consistente — parabéns por conferir!
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: