Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície x^{2}+y^{2}+\cos z=1 no ponto P(0,1, \pi / 2).
Plano: 0(x-0)+2(y-1)-\sin (\pi / 2)(z-\pi / 2)=0 \Longrightarrow 2(y-1)-(z-\pi / 2)=0,
Reta: (x, y, z)=(0,1, \pi / 2)+t(0,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto P(0,1,\pi/2) da superfície dada:
  • Determinar o plano tangente à superfície x^{2}+y^{2}+\cos z=1 em P.
  • Determinar a reta normal à superfície em P.
Informações fornecidas:
\text{Superfície: } x^{2}+y^{2}+\cos z=1.í
\text{Ponto: } P(0,1,\pi/2).
Nada mais é pedido além de plano tangente e reta normal em P.

Passo 2

Transformar a superfície numa função de nível para usar uma fórmula padrão. Defino a função
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+\cos z-1.
A superfície é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0. Uma propriedade muito útil é que o vetor gradiente de F, \nabla F, é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto do nível F=0. Vou usar isso — é a ideia chave.
Explicando isso rapidinho: o gradiente \nabla F aponta na direção de maior crescimento de F, e em uma superfície de nível F= constante ele é ortogonal ao nível porque deslocamentos tangenciais não mudam F (derivada direcional nula).

Passo 3

Calcular explicitamente o gradiente de F. Lembrando que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-\sin z.
Portanto
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,2y,\,-\sin z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(0,1,\pi/2). Substituo x=0, y=1, z=\pi/2:
\nabla F(0,1,\pi/2)=(2\cdot 0,\,2\cdot 1,\,-\sin(\pi/2))=(0,\,2,\,-1),
pois \sin(\pi/2)=1.
Interpretação: (0,2,-1) é um vetor normal à superfície em P. Esse vetor me serve tanto para montar o plano tangente quanto a reta normal.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente a uma superfície de nível F(x,y,z)=0 em P(x_0,y_0,z_0) é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)=0.
Substituindo \nabla F(0,1,\pi/2)=(0,2,-1) e P(0,1,\pi/2):
(0,2,-1)\cdot (x-0,\,y-1,\,z-\pi/2)=0.
Fazendo o produto escalar:
0\cdot (x-0)+2\cdot (y-1)-1\cdot (z-\pi/2)=0,
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2(y-1)-(z-\pi/2)=0.
Se quiser, isolando z:
z=2(y-1)+\pi/2=2y-2+\pi/2.

Passo 6

Montar a reta normal. A reta normal passa por P e tem direção dada pelo vetor normal (0,2,-1). A forma paramétrica da reta é
(x,y,z)=(0,1,\pi/2)+t(0,2,-1),\quad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
x=0,\qquad y=1+2t,\qquad z=\pi/2 - t.
Observação prática: como x é sempre 0 nessa reta, a normal sobe/ desce variando só y e z conforme o parâmetro t.

Passo 7

Checagem rápida (mental): o vetor normal (0,2,-1) realmente é ortogonal a qualquer vetor tangente do plano porque satisfaz a equação do plano com produto escalar zero, e o ponto P satisfaz a equação da superfície original (verifique: 0^{2}+1^{2}+\cos(\pi/2)=0+1+0=1). Tudo consistente — parabéns por conferir!

Resposta

Plano tangente: 2(y-1)-(z-\pi/2)=0
Reta normal: (x,y,z)=(0,1,\pi/2)+t(0,2,-1)

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