Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
Reta:
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. Pede-se o plano tangente à superfície em
e a reta normal à superfície que passa por
.
Informações relevantes:
com
.
O ponto de contato é .
Informações relevantes:
O ponto de contato é
Passo 2
Conceito: plano tangente a uma superfície do tipo
.
Se tem derivadas parciais em
, o plano tangente em
é dado por
Se
onde
e
são as derivadas parciais de
.
Explicação das derivadas parciais: é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada em relação a
mantendo
fixo.
Explicação das derivadas parciais:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Para : use a regra da cadeia em
(se
, então
e
) e a derivada de
.
Para
Para
:
é tratado como constante na parte
e
não depende de
:
Comentário: sempre identifique qual variável está sendo diferenciada e trate a outra como constante.
Passo 4
Avalie
e
em
. Note que
em
é
.
Passo 5
Construa o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
:
Simplificando:
Ou, escrito na forma apresentada no enunciado,
Passo 6
Conceito: vetor normal à superfície
.
Se , então o gradiente
é um vetor normal à superfície. Calculando:
Se
No ponto
isso dá o vetor normal
Explicação: o vetor normal aponta perpendicularmente ao plano tangente; sua direção serve para escrever a reta normal.
Passo 7
Equação paramétrica da reta com ponto inicial
e direção
. Usando parâmetro
:
Em coordenadas componentes:
Essa é a reta normal à superfície em
. Pode-se também escrever em forma vetorial ou com coordenadas separadas como acima.
Resposta
Plano:
Reta:
Reta: