Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=e^{x y}+x^{3} no ponto P(0,1,0).
Plano: (z-0)-(x-0)=0, \quad Reta: (x, y, z)=(0,1,0)+t(-1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=e^{x y}+x^{3} e o ponto P(0,1,0). Pede-se o plano tangente à superfície em P e a reta normal à superfície que passa por P.
Informações relevantes:
z=f(x,y) com f(x,y)=e^{x y}+x^{3}.
O ponto de contato é (x_0,y_0,z_0)=(0,1,0).

Passo 2

Conceito: plano tangente a uma superfície do tipo z=f(x,y).
Se f tem derivadas parciais em (x_0,y_0), o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dado por
z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.
Explicação das derivadas parciais: f_x é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; f_y é a derivada em relação a y mantendo x fixo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x y}+x^{3}.
Para f_x: use a regra da cadeia em e^{xy} (se u=xy, então \frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\,u' e u' = y) e a derivada de x^3.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{xy}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x^3\big)=y\,e^{xy}+3x^2.
Para f_y: x é tratado como constante na parte e^{xy} e x^3 não depende de y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(x^3\big)=x\,e^{xy}+0 = x\,e^{xy}.
Comentário: sempre identifique qual variável está sendo diferenciada e trate a outra como constante.

Passo 4

Avalie f_x e f_y em (x_0,y_0)=(0,1). Note que e^{xy} em (0,1) é e^{0}=1.
f_x(0,1)=1\cdot e^{0}+3\cdot 0^2 = 1+0 = 1,
f_y(0,1)=0\cdot e^{0}=0.

Passo 5

Construa o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com z_0=0, f_x(0,1)=1 e f_y(0,1)=0:
z-0 = 1\cdot (x-0) + 0\cdot (y-1).
Simplificando:
z = x.
Ou, escrito na forma apresentada no enunciado,
(z-0)-(x-0)=0.

Passo 6

Conceito: vetor normal à superfície z=f(x,y).
Se F(x,y,z)=z-f(x,y), então o gradiente \nabla F=(F_x,F_y,F_z) é um vetor normal à superfície. Calculando:
\nabla F = (-f_x,-f_y,1).
No ponto (0,1,0) isso dá o vetor normal
\mathbf{n}=(-f_x(0,1),-f_y(0,1),1)=(-1,0,1).
Explicação: o vetor normal aponta perpendicularmente ao plano tangente; sua direção serve para escrever a reta normal.

Passo 7

Equação paramétrica da reta com ponto inicial P(0,1,0) e direção \mathbf{n}=(-1,0,1). Usando parâmetro t:
(x,y,z) = (0,1,0) + t(-1,0,1).
Em coordenadas componentes:
x(t)= -t,\qquad y(t)=1,\qquad z(t)= t.
Essa é a reta normal à superfície em P. Pode-se também escrever em forma vetorial ou com coordenadas separadas como acima.

Resposta

Plano: (z-0)-(x-0)=0
Reta: (x,y,z)=(0,1,0)+t(-1,0,1)

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