Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=x^{2} e^{y}+\cos y no ponto P(1,0,2).
Plano: 2(x-1)+(z-2)=0, \quad Reta: (x, y, z)=(1,0,2)+t(2,0,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto P(1,0,2) para a superfície dada:
z = x^{2} e^{y} + \cos y.
As perguntas são:
  1. Determinar o plano tangente à superfície em P.
  2. Determinar a reta normal à superfície passando por P.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são: a expressão da superfície z em função de x,y e as coordenadas do ponto P(1,0,2).

Passo 2

Entendendo o que é necessário (sem resolver ainda): para uma superfície dada explicitamente como z=f(x,y), o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dado pela aproximação linear de f em torno de (x_0,y_0). A fórmula padrão do plano tangente é
z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. Vou explicar o que são essas derivadas e como calculá‑las no próximo passo.

Passo 3

O que são derivadas parciais e por que usamos aqui:
  • A derivada parcial \,f_x(x,y)\, mede a taxa de variação de f quando só variamos x e mantemos y fixo.
  • A derivada parcial \,f_y(x,y)\, mede a taxa de variação de f quando só variamos y e mantemos x fixo.
    Essas derivadas aparecem porque, localmente, a superfície z=f(x,y) pode ser aproximada por um plano cuja inclinação nas direções x e y é dada por f_x e f_y.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais da função f(x,y)=x^{2} e^{y} + \cos y.
Primeiro, calcule \,f_x(x,y)\,: aqui x é variável e y é tratado como constante. A derivada de x^{2}e^{y} em relação a x é 2x e^{y} (porque e^{y} é constante multiplicativa) e a derivada de \cos y em relação a x é 0. Portanto
f_x(x,y) = 2x e^{y}.
Agora, calcule \,f_y(x,y)\,: aqui y varia e x é constante. Para x^{2}e^{y}, a derivada em relação a y é x^{2} e^{y} (derivada de e^{y} é e^{y} multiplicada por x^{2}). Para \cos y, a derivada é -\sin y. Assim
f_y(x,y) = x^{2} e^{y} - \sin y.

Passo 5

Avalie as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(1,0).
Calcule f_x(1,0):
f_x(1,0) = 2\cdot 1 \cdot e^{0} = 2\cdot 1 \cdot 1 = 2.
Calcule f_y(1,0):
f_y(1,0) = 1^{2}\cdot e^{0} - \sin 0 = 1\cdot 1 - 0 = 1.
Também verifique que z_0 = f(1,0):
f(1,0) = 1^{2} e^{0} + \cos 0 = 1 + 1 = 2,
o que confirma a coordenada z do ponto P(1,0,2).

Passo 6

Escreva o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 e os valores encontrados:
z - z_0 = f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Substituindo z_0=2, f_x(1,0)=2 e f_y(1,0)=1:
z-2 = 2(x-1) + 1\cdot y.
Podemos deixar o plano numa forma mais simples isolando z:
z = 2x + y.
Ambas as formas são equivalentes; a forma com z isolado fica prática para checar pontos e usar na prova.

Passo 7

Agora a reta normal: interpretação e fórmula. O vetor normal ao plano tangente pode ser obtido a partir de
F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0,
pois a normal é \nabla F = (f_x, f_y, -1). Assim, no ponto (1,0,2) o vetor normal é
\mathbf{n} = (f_x(1,0),\, f_y(1,0),\, -1) = (2,\,1,\,-1).
A reta normal passa por P(1,0,2) e tem direção \mathbf{n}. Portanto a equação paramétrica da reta normal é
(x,y,z) = (1,0,2) + t\,(2,1,-1),
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Se quiser ver as componentes separadas da reta:
x = 1 + 2t,\qquad y = 0 + 1t,\qquad z = 2 - t.
Essa forma é útil para verificar interseções ou para esboçar a reta na prova.

Resposta

z-2=2(x-1)+y (ou equivalently z=2x+y)
(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,1,-1)

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