Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
Reta:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto
para a superfície dada:
As perguntas são:
- Determinar o plano tangente à superfície em
. - Determinar a reta normal à superfície passando por
.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são: a expressão da superfície
em função de
e as coordenadas do ponto
.
Passo 2
Entendendo o que é necessário (sem resolver ainda): para uma superfície dada explicitamente como
, o plano tangente em
é dado pela aproximação linear de
em torno de
. A fórmula padrão do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Vou explicar o que são essas derivadas e como calculá‑las no próximo passo.
Passo 3
O que são derivadas parciais e por que usamos aqui:
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só variamos e mantemos fixo. - A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só variamos e mantemos fixo.
Essas derivadas aparecem porque, localmente, a superfíciepode ser aproximada por um plano cuja inclinação nas direções e é dada por e .
Passo 4
Calcule as derivadas parciais da função
.
Primeiro, calcule
: aqui
é variável e
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
(porque
é constante multiplicativa) e a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Agora, calcule
: aqui
varia e
é constante. Para
, a derivada em relação a
é
(derivada de
é
multiplicada por
). Para
, a derivada é
. Assim
Passo 5
Avalie as derivadas no ponto
.
Calcule
:
Calcule
:
Também verifique que
:
o que confirma a coordenada
do ponto
.
Passo 6
Escreva o plano tangente usando a fórmula do Passo 2 e os valores encontrados:
Substituindo
,
e
:
Podemos deixar o plano numa forma mais simples isolando
:
Ambas as formas são equivalentes; a forma com
isolado fica prática para checar pontos e usar na prova.
Passo 7
Agora a reta normal: interpretação e fórmula. O vetor normal ao plano tangente pode ser obtido a partir de
pois a normal é
. Assim, no ponto
o vetor normal é
A reta normal passa por
e tem direção
. Portanto a equação paramétrica da reta normal é
onde
.
Passo 8
Se quiser ver as componentes separadas da reta:
Essa forma é útil para verificar interseções ou para esboçar a reta na prova.