Use a condição de simetria \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=0 para eliminar uma das constantes.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: temos uma solução geral de segunda ordem com duas constantes arbitrárias (vou chamar essas soluções fundamentais de y_1(x) e y_2(x)) e a condição de simetria
\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=0.
Informações relevantes que vou usar:
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x),
onde C_1 e C_2 são as constantes que queremos reduzir usando a condição \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=0.
Nada mais será assumido sobre y_1 e y_2 além de que são diferenciáveis em x=0.
Passo 2
Vou calcular a derivada de y(x). Regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função. Assim
\frac{d y}{d x}=C_1\,y_1'(x)+C_2\,y_2'(x).
Passo 3
Agora avalio essa derivada em x=0 e imponho a condição de simetria. Isso dá uma equação linear entre C_1 e C_2:
Expliquei: y_1'(0) e y_2'(0) são os valores das derivadas das soluções fundamentais em x=0.
Passo 4
Isolo uma constante em função da outra. Se y_2'(0)\neq 0, subtraio C_1\,y_1'(0) e divido por y_2'(0):
C_2 = -\,C_1\,\frac{y_1'(0)}{y_2'(0)}.
Esse é o resultado desejado: eliminei C_2 expressando-a em termos de C_1. Em provas, fazer exatamente essa manipulação é o que se pede quando dizem “usar a condição para eliminar uma constante”.
Passo 5
Casos especiais que aparecem frequentemente e é bom conhecer (para não errar na prova):
Se y_2'(0)=0 mas y_1'(0)\neq 0, a equação do passo 3 vira C_1\,y_1'(0)=0, logoC_1=0,e a constante eliminada é C_1.
Se y_1'(0)=0 mas y_2'(0)\neq 0, então da mesma forma obtemosC_2=0.
Se y_1'(0)=y_2'(0)=0, a condição \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=0 fica 0=0 e não elimina nenhuma constante — aí é preciso usar outra condição (por exemplo um valor y(0)= algo ou condições de ordem superior) para fixar as constantes.
Passo 6
Exemplos concretos (pra fixar na cabeça):
Se y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx), entãoy'(x)=-A k\sin(kx)+B k\cos(kx),e em x=0 obtemos y'(0)=B k. Como k\neq 0 normalmente, B=0. Aqui a constante eliminada é B.
Se y(x)=C_1\operatorname{cosh}(kx)+C_2\operatorname{sinh}(kx), entãoy'(x)=C_1 k\operatorname{sinh}(kx)+C_2 k\operatorname{cosh}(kx),e y'(0)=C_2 k, logo C_2=0.
Passo 7
Se quiser voltar à solução com uma única constante livre (quando y_2'(0)\neq 0), substitua a expressão do passo 4 em y(x):