Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
sigma(u, v)=(u, v, u^2+2 v^2), no ponto sigma(-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície parametrizada sigma(u,v)=(u,v,u^2+2v^2) e pede o plano tangente no ponto correspondente a (u,v)=(-1,1). Para isso precisamos calcular as derivadas parciais para obter vetores tangentes e usar o produto vetorial para achar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da parametrização. Temos
sigmau(u,v)=(1,0,2u) e sigmav(u,v)=(0,1,4v)

Passo 3

Avaliamos esses vetores no ponto (u,v)=(-1,1). Assim
sigmau(-1,1)=(1,0,-2) e sigmav(-1,1)=(0,1,4)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é dado pelo produto vetorial
sigmau(-1,1)timessigmav(-1,1). Calculando
(1,0,-2)times(0,1,4) resulta em (2,-4,1)

Passo 5

A coordenada do ponto na superfície é
sigma(-1,1)=(-1,1,3). Com o vetor normal (2,-4,1) e o ponto (-1,1,3) podemos montar a equação do plano

Passo 6

A equação do plano tangente é dada por
2l(x+1r)-4l(y-1r)+1l(z-3r)=0
que, ao simplificar, fica
2x-4y+z+3=0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto sigma(-1,1) é
2x - 4y + z + 3 = 0

Exercícios relacionados